Cantorjevo število

Cantorjevo števílo [kántorjevo ~] (tudi Catalan-Mersennovo število) je v matematiki pozitivno celo število oblike:

$c_{n+1}\equiv 2^{c_{n}}-1,\quad c_{0}\equiv 2;\quad n\geq 0\!\,.$

Eugène Charles Catalan je leta 1876 po Lucasovem odkritju praštevilskosti petega Cantorjevega števila $c_{4}$ opazil, da so Cantorjeva števila med Mersennovimi števili, ki tvorijo Catalanovo zaporedje (OEIS A007013):

2, 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727, ...

vsa praštevila. Georg Ferdinand Cantor je domneval, da so vsa takšna števila praštevila. Znanih je le pet Cantorjevih praštevil. Ni znano ali je šesto Cantorjevo število:

$c_{5}=2^{c_{4}}-1=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\!\,$

praštevilo. Znano pa je, da nima prafaktorja manjšega od $5\cdot 10^{51}$. Če je šesto Cantorjevo število sestavljeno, so sestavljena tudi vsa nadaljnja Cantorjeva števila. Nekateri verjamejo, da je malo verjetno, da je $c_{5}$ praštevilo, in, da je to še en zgled Guyjevega hudomušnega močnega zakona o majhnih številih.

Cantorjeva števila so poseben primer dvojnih Mersennovih števil oblike:

$M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1\!\,,$

kjer je p eksponent Mersennovih praštevil.

Viri

• Grasselli, Jože (2008), Enciklopedija števil, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, zv. 45, Ljubljana: DMFA – založništvo, COBISS 243138304, ISBN 978-961-212-209-6, ISSN 1408-1571

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Catalan-Mersenne Number«. MathWorld.