Cotesova spirala

Cotesova spirala je ravninska krivulja, ki se jo lahko zapiše v polarnih koordinatah z eno izmed naslednjih treh oblik:

${\frac {1}{r}}=A\cos \left(k\theta +\varepsilon \right)\!\,,$

${\frac {1}{r}}=A\cosh \left(k\theta +\varepsilon \right)\!\,,$

${\frac {1}{r}}=A\theta +\varepsilon \!\,,$

kjer je:

• $A\,$ realno število (konstanta)
• $k\,$ realno število (konstanta)
• $\varepsilon \,$ realno število (konstanta)

Prva oblika predstavlja epispiralo, druga Poinsotovo spiralo, tretja pa predstavlja hiperbolično spiralo.

Spirala se imenuje po angleškem matematiku Rogerju Cotesu (1682 – 1716).

Cotesova spirala je izredno pomembna v klasični mehaniki, ker se po Cotesovih spiralah gibljejo telesa v polju sil, ki padajo obratno sorazmerno s tretjo potenco oddaljenosti. To so sile, ki se jih lahko zapiše kot:

$F(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}\!\,,$

kjer je:

• $\mu \,$ realna konstanta

Središčna sila je odvisna samo od razdalje $r\,$ med gibajočim se telesom in fiksno točko (središčem). V tem primeru se lahko konstanta $k\,$ spirale določi s pomočjo ploščinske hitrosti, ki se jo označi s $h\,$, tako da velja:

$k^{2}=1-{\frac {\mu }{h^{2}}}\!\,.$

Nastopijo lahko trije primeri:

• $\mu <h\,$ dobi se kosinusno obliko spirale in velja:

$k^{2}={\frac {\mu }{h^{2}}}-1\!\,$

• $\mu >h\,$ dobi se hiperbolično kosinusno obliko spirale
• $\mu =h\,$ dobi se tretjo obliko spirale (glej zgoraj).

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cotes' Spiral«. MathWorld.
• Cotesova spirala na 2dcurves.com (angleško)
• Cotesova spirala v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquable (francosko)