Maxwellov napétostni ténzor (ali Maxwellov ténzor ) [máksvelov ~] je tenzor 2. reda , ki se uporablja v klasični elektrodinamiki za prikaz interakcij med elektromagnetnimi silami in gibalno količino . Imenuje se po Jamesu Clerku Maxwellu . V preprostih primerih, kot je na primer gibanje točkovnega električnega naboja v homogenem magnetnem polju , je lahko izračunati sile na naboj iz Lorentzevega zakona sile . Ko razmere postanejo bolj zapletene, je to na ta način narediti skrajno težko z več dolgimi enačbami. Zaradi tega je priročno zbrati več teh členov v Maxwellov napetostni tenzor in za reševanje določenega problema uporabljati tenzorsko aritmetiko.
V relativistični formulaciji elektromagnetizma se Maxwellov napetostni tenzor pojavlja kot del elektromagnetnega napetostnega tenzorja , ki je sam elektromagnetna komponenta skupnega napetostnega tenzorja . Ta opisuje gostoto ter tok energije in gibalne količine (mase ) v prostor-času .
Lorentzeva sila (na enoto prostornine ) f na zvezni porazdelitvi naboja (gostoti naboja ρ) v gibanju . 3-gostota električnega toka j odgovarja gibanju nabitega elementa dq v prostorninskem elementu dV in se spreminja skozi kontinuum .Kot je navedeno spodaj, je elektromagnetna sila zapisana v izrazih jakosti električnega polja E in gostote magnetnega polja B , s pomočjo vektorske analize in simetrije Maxwellovih enačb v vakuumu v izrazih, ki vsebujejo iskani količini E in B , se z uvedbo Maxwellovega napetostnega tenzorja poenostavi rezultat.
Maxwellove enačbe v enotah SI v vakuumu
ime
diferencialna oblika
Gaussov zakon o električnem pretoku (v vakuumu)
∇
⋅
E
=
ρ
ϵ
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
Gaussov zakon o magnetnem pretoku
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
Maxwell-Faradayeva enačbaindukcijski zakon )
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
Ampèrov zakon o magnetni napetosti (v vakuumu)
∇
×
B
=
μ
0
j
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }
Po Lorentzevemu zakonu sile:
F
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
je sila na enoto prostornine (gostota sile ) za neznano porazdelitev naboja enaka:
f
=
ρ
E
+
j
×
B
.
{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {j} \times \mathbf {B} \!\,.}
f
=
ϵ
0
(
∇
⋅
E
)
E
+
1
μ
0
(
∇
×
B
)
×
B
−
ϵ
0
∂
E
∂
t
×
B
.
{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} \!\,.}
∂
∂
t
(
E
×
B
)
=
∂
E
∂
t
×
B
+
E
×
∂
B
∂
t
=
∂
E
∂
t
×
B
−
E
×
(
∇
×
E
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\!\,,}
tako, da se lahko f zapiše kot:
f
=
ϵ
0
(
∇
⋅
E
)
E
+
1
μ
0
(
∇
×
B
)
×
B
−
ϵ
0
∂
∂
t
(
E
×
B
)
−
ϵ
0
E
×
(
∇
×
E
)
.
{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\!\,.}
Nato se združijo členi z E in B , kar da:
f
=
ϵ
0
[
(
∇
⋅
E
)
E
−
E
×
(
∇
×
E
)
]
+
1
μ
0
[
−
B
×
(
∇
×
B
)
]
−
ϵ
0
∂
∂
t
(
E
×
B
)
.
{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\!\,.}
Zdi se, da člen v simetriji za E in B »manjka«, kar se lahko doseže z dodajanjem (∇ • B )B zaradi Gaussovega zakona o magnetnem pretoku:
f
=
ϵ
0
[
(
∇
⋅
E
)
E
−
E
×
(
∇
×
E
)
]
+
1
μ
0
[
(
∇
⋅
B
)
B
−
B
×
(
∇
×
B
)
]
−
ϵ
0
∂
∂
t
(
E
×
B
)
.
{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}
Z znebitvijo rotorjev , (ki so za računanje precej zapleteni), s pomočjo zveze vektorske analize :
1
2
∇
(
A
⋅
A
)
=
A
×
(
∇
×
A
)
+
(
A
⋅
∇
)
A
,
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} \!\,,}
vodi do:
f
=
ϵ
0
[
(
∇
⋅
E
)
E
+
(
E
⋅
∇
)
E
]
+
1
μ
0
[
(
∇
⋅
B
)
B
+
(
B
⋅
∇
)
B
]
−
1
2
∇
(
ϵ
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
−
ϵ
0
∂
∂
t
(
E
×
B
)
.
{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\!\,.}
Ta izraz vsebuje vse vidike elektromagnetizma in gibalne količine in je tudi relativno enostaven za računanje. Lahko se ga zapiše strnjeno z uvedbo Maxwellovega napetostnega tenzorja:
σ
i
j
≡
ϵ
0
(
E
i
E
j
−
1
2
δ
i
j
E
2
)
+
1
μ
0
(
B
i
B
j
−
1
2
δ
i
j
B
2
)
.
{\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\!\,.}
Pri tem se lahko vsi členi razen zadnjega zapišejo kot divergenca izraza:
f
+
ϵ
0
μ
0
∂
S
∂
t
=
∇
⋅
σ
.
{\displaystyle \mathbf {f} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,=\nabla \cdot \mathbf {\sigma } \!\,.}
Kakor v Poyntingovem izreku se lahko drugi člen na levi strani enačbe obravnava kot časovni odvod gostote gibalne količine elektromagnetnega polja, tako da bo na ta način zakon o ohranitvi gibalne količine v klasični elektrodinamiki. Tu je Poyntingov vektor enak:
P
=
1
μ
0
E
×
B
.
{\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \!\,.}
V zgornji zvezi da ohranitev gibalne količine je
∇
⋅
σ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {\sigma } }
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
Maxwellov napetostni tenzor je napetostni tenzor elektromagnetnega polja . Kakor je izpeljan zgoraj v enotah SI , je dan kot:
σ
i
j
=
ϵ
0
E
i
E
j
+
1
μ
0
B
i
B
j
−
1
2
(
ϵ
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
δ
i
j
,
{\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\epsilon _{0}E^{2}+{\tfrac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}{\bigr )}\delta _{ij}\!\,,}
kjer je ε0 influenčna konstanta , μ0 indukcijska konstanta , E jakost električnega polja , B gostota magnetnega polja in δij Kroneckerjeva delta . V Gaussovem sistemu enot CGS je dan kot:
σ
i
j
=
1
4
π
(
E
i
E
j
+
H
i
H
j
−
1
2
(
E
2
+
H
2
)
δ
i
j
)
,
{\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}(E^{2}+H^{2})\delta _{ij}\right)\!\,,}
kjer je H jakost magnetnega polja .
Drug način zapisa tega tenzorja je:
σ
↔
=
1
4
π
[
E
⊗
E
+
H
⊗
H
−
E
2
+
H
2
2
I
]
,
{\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\mathbf {\sigma } }}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]\!\,,}
kjer je ⊗ diadni produkt , zadnji tenzor pa enotska diada :
I
≡
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
=
(
x
^
⊗
x
^
+
y
^
⊗
y
^
+
z
^
⊗
z
^
)
.
{\displaystyle \mathbb {I} \equiv \left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)=(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} )\!\,.}
Element ij Maxwellovega napetostnega tenzorja ima enote gibalne količine na enoto površine krat čas in podaja tok gibalne količine vzporeden z i -to osjo, ki prečka ploskev pravokotno na j -to os (v negativni smeri) na enoto časa.
Te enote se lahko obravnavajo kot enote sile na enoto površine (negativni tlak ), element
ij pa se lahko obravnava kot sila vzporedna na i -to os, ki deluje na ploskev pravokotno na j -to os na enoto časa. Diagonalni elementi res dajo napetost , ki deluje na diferencialni površinski element pravokoten na odgovarjajočo os. Z razliko od sil zaradi tlaka idealnega plina tudi na površinski element v elektromagnetnem polju deluje sila v smeri, ki je pravokotna na element. Ta strižna napetost je podana z nediagonalnimi elementi Maxwellovega napetostnega tenzorja.
V prostem magnetnem polju (na primer v motorjih ) se nekateri členi izničijo, Maxwellov tenzor v enotah SI pa ima obliko:
σ
i
j
=
1
μ
0
B
i
B
j
−
1
2
μ
0
B
2
δ
i
j
.
{\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\!\,.}
Za valjasta telesa , kot je na primer rotor motorja, ima tenzor še preprostejšo obliko:
σ
r
t
=
1
μ
0
B
r
B
t
−
1
2
μ
0
B
2
δ
r
t
.
{\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\!\,.}
kjer je r strižna napetost v radialni smeri (ven iz valja), t pa strižna napetost v tangentni smeri (okrog valja). Tangentna sila vrti motor. B r B t
Becker, Richard (1964), Electromagnetic Fields and Interactions , Dover Publications Inc. Griffiths, David J. (2008), Introduction to Electrodynamics , Benjamin Cummings Inc., str. 351–352 Jackson, John David (1999), Classical Electrodynamics (3. izd.), John Wiley & Sons, Inc.
![{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c006d1d7c6e97a012857e87ae90e26e65d5ed0)
![{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43c1d132f419b56d70aebb6857121cc10fb929a)
![{\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622cddf572923525562d7d19aee45db1a73c4312)
![{\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\mathbf {\sigma } }}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005792f25690c492200a48e37f1ecc6c3e6819b3)
