Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Konturni graf funkcije beta
Graf funkcije beta za pozitivne x in y
Funkcija beta, imenovana tudi Eulerjev integral prve vrste, je v matematiki specialna funkcija dveh argumentov, definirana kot:
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}\left(1-t\right)^{y-1}\,\mathrm {d} t,\qquad (\Re (x)>0,\ \Re (y)>0)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c7e12a71a458b20eadb457fd8e61e7a8347ba6)
Funkcijo beta sta raziskovala Euler in Legendre, ime pa ji je dal Binet.
Funkcija beta je simetrična, kar pomeni da argumenta lahko zamenjata mesti, in velja:
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)=\operatorname {\mathrm {B} } (y,x)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61c96ec69d182371105681b553b0b9c290b2a2b)
Funkcijo beta se lahko zapiše v različnih oblikah.
Dokazati je mogoče, da se da funkcijo beta izraziti s funkcijo gama:
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)={\frac {\operatorname {\Gamma } (x)\,\operatorname {\Gamma } (y)}{\operatorname {\Gamma } (x+y)}}\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b402c49957826c5e37adb9482af9e8b3da10cf0c)
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad (\Re (x)>0,\ \Re (y)>0)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78be498a0fc78a3437c8aa64b86579c10ed65249)
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad (\Re (x)>0,\ \Re (y)>0)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c1362d1b5ae438073cc513090ef732ecfedb73)
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2057ac761364195e5fd8f883338cad66166e537e)
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b2fa9441aa9180a3f8345c6d184fc18f907d65)
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)\,\operatorname {\mathrm {B} } (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b22c8fbfabe5cc18e6dfb9ebdf7074626eda6b7)
![{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630ab06fe47b42a81f78120214084b063500bfc5)
Druga enakost kaže, da je
.
Podobno kot funkcija gama za cela števila opisuje fakultete, lahko funkcija beta določa binomski koeficient s primernimi indeksi:
![{\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\operatorname {\mathrm {B} } (n-k+1,k+1)}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98b39e54930d6ef79a996fd25f082cecdaa468b)
Funkcija beta je bila prva znana raztrosna amplituda v teoriji strun, kar je prvi domneval Veneziano. Pojavlja se tudi v teoriji procesa prednostne povezanosti, vrste stohastičnega procesa žare.