Padéjeva aproksimacija

Padéjeva aproksimácija (rácionalna aproksimácija ali Padéjev aproksimánt) [padéjev(a) ~] je v matematiki »najboljša« aproksimacija analitične funkcije z racionalno funkcijo danega reda. Na ta način se potenčna vrsta aproksimacije ujema s potenčno vrsto funkcije, ki jo aproksimira. Tehniko in splošno teorijo je razvil okoli leta 1890 Henri Eugène Padé, njene zametke pa se lahko zasledi že pri Ferdinandu Georgu Frobeniusu, ki je uvedel zamisel in raziskal značilnosti racionalnih aproksimacij potenčnih vrst, ter tudi pri drugih matematikih.

Padéjeva aproksimacija po navadi daje boljšo aproksimacijo funkcije, kot pa krajšanje njene Taylorjeve vrste, in še vedno velja tam kjer Taylorjeva vrsta ne konvergira. Zaradi tega se Padéjeve aproksimacije veliko uporabljajo pri računalniškem izračunavanju. Uporabili so jih tudi kot pomožne funkcije v teoriji diofantskih približkov in transcendentni teoriji števil, čeprav ostre rezultate v nekem smislu tipično nadomeščajo ad hoc metode, ki jih je navdihnila Padéjeva teorija.

Definicija

Za dano realno funkcijo f realnega argumenta x, razvito v Taylorjevo vrsto:

$f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}\!\,,$

kjer so $c_{i}\,$ koeficienti vrste, in dve celi števili m ≥ 0 in n ≥ 1 je Padéjeva aproksimacija reda [m/n] racionalna funkcija:

$R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}}}\!\,,$

kar se ujema z f(x) do najvišjega možnega reda, kar da:

${\begin{array}{rcl}f(0)&=&R(0)\\f'(0)&=&R'(0)\\f''(0)&=&R''(0)\\&\vdots &\\f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0).\end{array}}\!\,$

Če se R(x) razvije v Maclaurinovo vrsto (Taylorjevo vrsto v točki 0), bodo njeni prvi m + n členi izničili prve m + n člene funkcije f(x), tako da je razlika:

$f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots =O\left(x^{m+n+1}\right)\!\,.$

Padéjeva aproksimacija je za dani števili m in n, če obstaja, enolična, koeficiente $a_{0},a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}\,$ pa se lahko enolično določi. To izhaja iz enoličnosti, da je bil člen ničelnega reda pri imenovalcu R(x) izbran enak 1 ($Q(0)=1\,$, $b_{0}=1\,$), drugače bi bila števec in imenovalec R(x) enolična le do množenja s konstanto in se ju lahko deli s številom $b_{0}=1\,$. Zaradi tega ima racionalna funkcija $R(x)\,$ m + n + 1 neznanih koeficientov.

Na ta način definirana Padéjeva aproksimacija se označuje tudi kot:

$[m/n]_{f}(x)\!\,$ ali kar $[m/n]\!\,,$

$R_{N,M}(x),\;R_{n,m}(x)\!\,,$

$f_{N,M}(x)\!\,,$

ali kot:

$f^{[N,M]}(x)\!\,.$

Računanje

Za dani x se lahko Padéjeva aproksimacija izračuna z Wynnovim algoritmom epsilon in tudi z drugimi transformacijami zaporedij iz delnih vsot:

$T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}\!\,$

Taylorejeve vrste za funkcijo f. Tako je:

$c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\!\,.$

f je lahko tudi formalna potenčna vrsta in zaradi tega se lahko Padéjeve aproksimacije uporabijo tudi pri seštevanju divergentnih vrst.

En način računanja Padéjeve aproksimacije je prek razširjenega Evklidovega algoritma za polinomski največji skupni delitelj (gcd). Zveza:

$R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}=T_{m+n}(x){\text{ mod }}x^{m+n+1}\!\,$

je enakovredna obstoju takšnega faktorja K(x), da velja:

$P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1}\!\,,$

kar se lahko predstavi kot Bézoutova enakost enega koraka v računanju razširjenega gcd za polinoma $T_{m+n}(x)$ in $x^{m+n+1}$.

Če se želi izračunati največji skupni delitelj dveh polinomov p in q, je treba izračunati zaporedje ostanka z dolgo delitvijo:

$r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1}\!\,,$

kjer je k =1, 2, 3, ... z $\deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,$, dokler ni $r_{k+1}=0$. Za Bézoutove identitete razširjenega gcd je treba sočasno izračunati dve polinomski zaporedji:

$u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}\!\,,$

da se v vsakem koraku dobi Bézoutova identiteta:

$r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x)\!\,.$

Za aproksimacijo [m/n] je tako treba izvesti razširjeni Evklidov algoritem za:

$r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)\!\,$

in ga zaključiti takoj, ko ima $v_{k}$ stopnjo n ali manjšo.

Tedaj polinoma $P=r_{k},\;Q=v_{k}$ predstavljata Padéjevo transformacijo [m/n]. Če bi se izračunali vsi koraki razširjenega gcd, bi se dobila antidiagonala Padéjeve tabele.

Riemann-Padéjeva funkcija zeta

Pri raziskovanju ponovnega seštevanja divergentne vrste, na primer vrste:

$\sum _{z=1}^{\infty }f(z)\!\,,$

je lahko uporabno, če se uvede Padéjeva ali preprosto racionalna funkcija zeta kot:

$\zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}}\!\,,$

kjer je:

$R(x)=[m/n]_{f}(x)\!\,$

Padéjeva aproksimacija reda (m, n) funkcije f(x). Vrednost regularizacije zeta v s = 0 je vsota divergentne vrste.

Funkcijska enačba takšne Padéjeve funkcije zeta je:

$\sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j)\!\,,$

kjer so a_j in b_j koeficienti Padéjeve aproksimacije. Indeks '0' pomeni, da je red Padéjeve apoksimacije enak [0/0] in zaradi tega gre za Riemannovo funkcijo zeta.

Padéjeva metoda DLog

S Padéjevimi aproksimacijami se lahko povzamejo kritične točke in eksponenti funkcij. Če se funkcija f(x) v termodinamiki obnaša na neanalitični način blizu točke x = r kot $f(x)\sim \left|x-r\right|^{p}$, se x = r imenuje kritična točka, p pa pridruženi eksponent f. Če je znano dovolj členov razvoja v vrsto f, se lahko približno povzamejo kritične točke in kritični eksponenti iz polov in ostankov Padéjevih aproksimacij $\left[n/n+1\right]_{g}\left(x\right)\,$, kjer je $g={\frac {f'}{f}}\,$.

Posplošitve

Padéjeva aproksimacija je približek funkcije ene spremenljivke. Aproksimacija funkcije dveh spremenljivk se imenuje Chisholmova aproksimacija, več spremenljivk pa canterburyjska aproksimacija.

Zgledi

sin(x)

$\sin(x)\approx {\frac {(12671/4363920)x^{5}-(2363/18183)x^{3}+x}{1+(445/12122)x^{2}+(601/872784)x^{4}+(121/16662240)x^{6}}}$

exp(x)

$\exp(x)\approx {\frac {1+(1/2)x+(1/9)x^{2}+(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}+(1/30240)x^{5}}{1-(1/2)x+(1/9)x^{2}-(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}-(1/30240)x^{5}}}$

JacobiSN(z, 3);

$\mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-(9853969/39583665)z^{5}-(1493060/2638911)z^{3}+z}{1+(968375/879637)z^{2}-(1167506/7916733)z^{4}+(867043/2159109)z^{6}}}$

BesselJ(5, x)

$J_{5}(x)\approx {\frac {-(107/28416000)x^{7}+(1/3840)x^{5}}{1+(151/5550)x^{2}+(1453/3729600)x^{4}+(1339/358041600)x^{6}+(2767/120301977600)x^{8}}}$

erf(x)

$\mathrm {erf} (x)\approx {\frac {(2/15)\cdot (49140x+3570x^{3}+739x^{5})}{{\sqrt {\pi }}\cdot (165x^{4}+1330x^{2}+3276)}}$

FresnelC(x)

$C(x)\approx {\frac {(1/135)\cdot (990791x^{9}\pi ^{4}-147189744x^{5}\pi ^{2}+8714684160x)}{(1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216)}}$

Polytrope(n=3,z)

$w_{3}(z)\approx {\frac {1-z^{2}/108+z^{4}/45360}{1+(17/108)z^{2}+z^{4}/1008}}$

Glej tudi

• Padéjeva tabela

Viri

• Baker, George Allen mlajši (2012), »Padé approximant«, Scholarpedia, 7 (6): 9756, doi:10.4249/scholarpedia.9756
• Bini, Dario; Pan, Victor (1994), Polynomial and Matrix computations - Volume 1. Fundamental Algorithms, Progress in Theoretical Computer Science, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3786-9
• Brezinski, Claude; Redivo Zaglia, M. (1991), Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland
• Brezinski, Claude (1996), »Extrapolation algorithms and Padé approximations«, Applied Numerical Mathematics, 20 (3): 299–318, doi:10.1016/0168-9274(95)00110-7
• Cohen, Harold (2011), Numerical Approximation Methods: Π ≈ 355/113, Springer, doi:10.1007/978-1-4419-9837-8, ISBN 978-1-4419-9836-1
• Frobenius, Ferdinand Georg, »Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen«, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), 1881 (90): 1–17
• Gragg, W. B. (1972), »The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis«, SIAM Review, 14 (1): 1–62
• Kuščer, Ivan; Kodre, Alojz (2006), Matematika v fiziki in tehniki, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, zv. 36, Ljubljana: DMFA – založništvo, COBISS 230034944, ISBN 961-212-033-1, ISSN 1408-1571
• Padé, Henri Eugène (1892), »Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles«, Ann. \'Ecole Nor., 3 (9): 1–93 dodatek
• Press, William Henry; Teukolsky, Saul Arno; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), »Section 5.12 Padé Approximants«, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. izd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 3. marca 2016, pridobljeno 26. maja 2014
• Stöcker, Horst (2006), Matematični priročnik z osnovami računalništva, Ljubljana: Tehniška založba Slovenije, str. 182, COBISS 229576192, ISBN 86-365-0587-9, OCLC 449201276
• Širca, Simon; Horvat, Martin (2010), Računske metode za fizike, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, zv. 46 (1. izd.), DMFA – založništvo, COBISS 253114368, ISBN 978-961-212-227-0, ISSN 1408-1571
• Van Assche, Walter (4. september 2006), Pade and Hermite-Pade approximation and orthogonality,
• Wynn, Peter (Marec 1966), »On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm«, SIAM Journal on Numerical Analysis, 3 (1): 91–122, Bibcode:1966SJNA....3...91W, doi:10.1137/0703007, JSTOR 2949688
• Wynn, Peter (1966), »Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table«, Numerische Mathematik, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Padé Approximant«. MathWorld.