Skladno število

Pravokotni trikotnik s ploščino enako 6, ki je drugo najmanjše skladno število.

Skládno števílo (ali kongruéntno števílo) je v matematiki pozitivno celo število, ki predstavlja ploščino pravokotnega trikotnika, katerega dolžine stranic so racionalna števila. Splošnejša definicija dovoljuje vsa pozitivna racionalna števila s to značilnostjo.

Prvi členi zaporedja (celoštevilskih) skladnih števil so (OEIS A003273):

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ...

Razpredelnica skladnih števil $n\leq 120\!\,$

Razpredelnica skladnih števil $n\leq 120\!\,$
—: neskladno število
C: skladno število, deljivo brez kvadrata
S: skladno število s kvadratnim faktorjem

$n\!\,$	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
$n\!\,$	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
$n\!\,$	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
$n\!\,$	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
$n\!\,$	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
$n\!\,$	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
$n\!\,$	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
$n\!\,$	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
$n\!\,$	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
$n\!\,$	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
$n\!\,$	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
$n\!\,$	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
$n\!\,$	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
$n\!\,$	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
$n\!\,$	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

Število 5 je na primer skladno, ker je enako ploščini pravokotnega trikotnika z dolžinami stranic 20/3, 3/2 in 41/6. Podobno je število 6 skladno, ker je enako ploščini pravokotnega trikotnika z dolžinami stranic 3, 4 in 5. Števila 1, 2, 3 in 4 niso skladna števila.

Če je $q\!\,$ skladno število, je skladno število tudi $s^{2}q\!\,$ za poljubno naravno število $s\!\,$ – kadar se vsaka stranica trikotnika pomnoži s $s\!\,$ in obratno. To vodi do opažanja, da je skladnost neničelnega racionalnega števila $q\!\,$ odvisna le od njegovega ostanka v grupi:

$\mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}\!\,.$

Vsak razred ostankov v tej grupi vsebuje točno eno celo število, deljivo brez kvadrata, zato se pri obravnavi skladnih števil običajno upoštevajo le pozitivna cela števila, deljiva brez kvadrata.

Problem skladnega števila

Vprašanje določevanja ali je dano racionalno število skladno število se imenuje problem skladnega števila. Problem še ni rešen. Tunnellov izrek iz leta 1983 zagotavlja kriterij, ki se ga da enostavno testirati, za določevanje ali je dano število skladno, vendar se njegov rezultat opira na še vedno nedokazano Birch-Swinnerton-Dyerjevo domnevo.

Problem skladnega števila je prvi navedel Al Karadži v delu Knjiga o algebri in almukabali (Al Fahri fi'l-džabr va'l-mukabala), napisanem okoli leta 1010. Njegova različica problema ne obravnava pravokotnih trikotnikov ampak je definirana s pomočjo kvadratnih števil ali kvadratov racionalnih števil. Za katera cela števila $n\!\,$ obstaja takšen kvadrat $x^{2}\!\,$, da sta kvadrata tudi $x^{2}-n\!\,$ in $x^{2}+n\!\,$? Na Al Karadžijevo delo so vplivali prevodi Diofantovih del, ki so obravnavali podobne probleme.

Fermatov izrek o pravokotnem trikotniku, imenovan po Pierreu de Fermatu, iz leta 1659 pravi, da nobeno kvadratno število ne more biti skladno. Izrek v obliki, da je vsak kongruum (razlika med zaporednimi elementi v aritmetičnem zaporedju treh kvadratov) nekvadrat, je bil znan (brez dokaza) že Leonardu Fibonacciju leta 1225. Vsak kongruum je skladno število in vsako skladno število je produkt kongruuma in kvadrata racionalnega števila. Določevanje ali je dano število kongruum je veliko lažje od določevanja ali je skladno, ker obstaja parametrizirana formula za kongrue, kjer je treba testirati le končno mnogo parametrov.

Rešitve

Število $n\!\,$ je skladno, če in samo če imata enačbi:

$x^{2}+nt^{2}=y^{2}\!\,,$

$x^{2}-nt^{2}=z^{2}\!\,$

rešitve. Če jih imata, jih imata neskončno mnogo, podobno kot Pellova enačba).

Če so dane rešitve ${x,y,z,t}\!\,$, se lahko določijo takšni ${a,b,c}\!\,$, da velja:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,$ in ${\frac {ab}{2}}=n\!\,$

iz:

$a={\frac {y-z}{t}}\!\,$, $b={\frac {y+z}{t}}\!\,$, $c={\frac {2x}{t}}\!\,.$

Povezava z eliptičnimi krivuljami

Vprašanje ali je dano število skladno se izkaže za enakovredno pogoju, da ima določena eliptična krivulja pozitivni rang. Drug pristop zamisli je prikazan spodaj (in se lahko najde v uvodu Tunnellovega članka).

Naj so $a\!\,$, $b\!\,$ in $c\!\,$ števila (ne nujno pozitivna ali racionalna), za katera veljata naslednji dve enačbi:

${\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}$

Naj je:

$x={\frac {n(a+c)}{b}}\!\,$

in:

$y={\frac {2n^{2}(a+c)}{b^{2}}}\!\,.$

Račun pokaže, da velja:

$y^{2}=x^{3}-n^{2}x\!\,$

in $y\!\,$ ni enak 0 (če je $y=0\!\,$, je $a=-c\!\,$, in zato $b=0\!\,$, vendar je izraz ${\tfrac {1}{2}}ab=n\!\,$ neničelen, kar je protislovje).

In obratno, če sta $x\!\,$ in $y\!\,$ števili, za kateri velja zgornja enačba, in $y\!\,$ ni enak 0, naj je $a(x^{2}-n^{2})/y\!\,$, $b=2nx/y\!\,$ in $c=(x^{2}+n^{2})/y\!\,$. Račun pokaže, da za ta tri števila veljata zgornji enačbi za $a\!\,$, $b\!\,$ in $c\!\,$.

Ti dve zvezi med $(a,b,c)\!\,$ in $(x,y)\!\,$ sta med seboj inverzni, tako da med poljubno rešitvijo teh dveh enačb obstaja enolična zveza v $a\!\,$, $b\!\,$ in $c\!\,$, ter poljubno rešitvijo enačbe v $x\!\,$ in $y\!\,$ pri neničelnem $y\!\,$. V formulah obeh zvez za racionalni $n\!\,$ se še posebej vidi, da so $a\!\,$, $b\!\,$ in $c\!\,$ racionalni, če sta racionalna odgovarjajoča $x\!\,$ in $y\!\,$, in obratno. (Velja tudi, da so $a\!\,$, $b\!\,$ in $c\!\,$ vsi pozitivni, če in samo če sta pozitivna oba $x\!\,$ in $y\!\,$. Iz enačbe $y^{2}=x^{3}-n^{2}x=x(x^{2}-n^{2})\!\,$ se vidi, da, če sta $x\!\,$ in $y\!\,$ pozitivna, mora biti pozitiven člen $x^{2}-n^{2}\!\,$, da je zgornja formula za $a\!\,$ pozitivna.)

Tako je pozitivno racionalno število $n\!\,$ skladno, če in samo če ima enačba $y^{2}=x^{3}-n^{2}x\!\,$ racionalno točko z neničelnim $y\!\,$. Lahko se pokaže (kot uporaba Dirichletovega izreka o praštevilih v aritmetičnem zaporedju), da so edine torzijske točke na tej eliptični krivulji tiste z $y\!\,$ enakim 0, tako da je obstoj racionalne točke z neničelnim $y\!\,$ enakovreden izjavi, da ima eliptična krivulja pozitiven rang.

Drug pristop je s celoštevilsko vrednostjo $n\!\,$, označeno kot $N\!\,$, in z rešitvijo enačbe:

$N^{2}=ed^{2}+e^{2}\!\,,$

kjer je:

${\begin{matrix}c&=&{\frac {n^{2}}{e}}+e\\a&=&2n\\b&=&{\frac {n^{2}}{e}}-e\end{matrix}}$

Najmanjše rešitve

Sledi seznam racionalnih rešitev enačb $a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,$ in ${\frac {ab}{2}}=n\!\,$ s skladnim številom $n\!\,$ in najmanjšim števcem za $c\!\,$. (Tu velja $a<b\!\,$, saj $a\!\,$ ne more biti enak $b\!\,$. Če bi bilo tako, bi bilo $c={\sqrt {2}}a\!\,$, ${\sqrt {2}}\!\,$ pa ni racionalno število, zato $c\!\,$ in $a\!\,$ ne moreta oba biti racionalni števili).

$n\!\,$	$a\!\,$	$b\!\,$	$c\!\,$
5	${\frac {3}{2}}\!\,$	${\frac {20}{3}}\!\,$	${\frac {41}{6}}\!\,$
6	3	4	5
7	${\frac {35}{12}}\!\,$	${\frac {24}{5}}\!\,$	${\frac {337}{60}}\!\,$
13	${\frac {780}{323}}\!\,$	${\frac {323}{30}}\!\,$	${\frac {106921}{9690}}\!\,$
14	${\frac {8}{3}}\!\,$	${\frac {21}{2}}\!\,$	${\frac {65}{6}}\!\,$
15	4	${\frac {15}{2}}\!\,$	${\frac {17}{2}}\!\,$
20	3	${\frac {40}{3}}\!\,$	${\frac {41}{3}}\!\,$
21	${\frac {7}{2}}\!\,$	12	${\frac {25}{2}}\!\,$
22	${\frac {33}{35}}\!\,$	${\frac {140}{3}}\!\,$	${\frac {4901}{105}}\!\,$
23	${\frac {80155}{20748}}\!\,$	${\frac {41496}{3485}}\!\,$	${\frac {905141617}{72306780}}\!\,$
24	6	8	10
28	${\frac {35}{6}}\!\,$	${\frac {48}{5}}\!\,$	${\frac {337}{30}}\!\,$
29	${\frac {99}{910}}\!\,$	${\frac {52780}{99}}\!\,$	${\frac {48029801}{90090}}\!\,$
30	5	12	13
31	${\frac {720}{287}}\!\,$	${\frac {8897}{360}}\!\,$	${\frac {2566561}{103320}}\!\,$
34	${\frac {17}{6}}\!\,$	24	${\frac {145}{6}}\!\,$
37	${\frac {450660}{777923}}\!\,$	${\frac {777923}{6090}}\!\,$	${\frac {605170417321}{4737551070}}\!\,$
38	${\frac {1700}{279}}\!\,$	${\frac {5301}{425}}\!\,$	${\frac {1646021}{118575}}\!\,$
39	${\frac {5}{2}}\!\,$	${\frac {156}{5}}\!\,$	${\frac {313}{10}}\!\,$
41	${\frac {3280}{1023}}\!\,$	${\frac {1023}{40}}\!\,$	${\frac {1054721}{40920}}\!\,$
45	${\frac {9}{2}}\!\,$	20	${\frac {41}{2}}\!\,$
46	${\frac {253}{42}}\!\,$	${\frac {168}{11}}\!\,$	${\frac {7585}{462}}\!\,$
47	${\frac {11547216}{2097655}}\!\,$	${\frac {98589785}{5773608}}\!\,$	${\frac {217287944875297}{12111037689240}}\!\,$
52	${\frac {1560}{323}}\!\,$	${\frac {323}{15}}\!\,$	${\frac {106921}{4845}}\!\,$
53	${\frac {1472112483}{202332130}}\!\,$	${\frac {21447205780}{1472112483}}\!\,$	${\frac {4850493897329785961}{297855654284978790}}\!\,$
54	9	12	15
55	${\frac {1100}{117}}\!\,$	${\frac {117}{10}}\!\,$	${\frac {17561}{1170}}\!\,$
56	${\frac {16}{3}}\!\,$	21	${\frac {65}{3}}\!\,$
60	8	15	17
61	${\frac {6428003}{1423110}}\!\,$	${\frac {173619420}{6428003}}\!\,$	${\frac {250510625883241}{9147755349330}}\!\,$
...	...	...	...
101	${\frac {267980280100}{44538033219}}\!\,$	${\frac {44538033219}{1326635050}}\!\,$	${\frac {2015242462949760001961}{59085715926389725950}}\!\,$
...	...	...	...
157	${\frac {411340519227716149383203}{21666555693714761309610}}\!\,$	${\frac {6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}}\!\,$	${\frac {224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}}\!\,$

Trenutni napredek

Za klasifikacijo skladnih števil se je naredilo veliko dela.

Znano je na primer, da za praštevilo $p\!\,$ velja naslednje:

• če je $p\equiv 3\ ({\hbox{mod}}\ 8)\!\,$, potem $p\!\,$ ni skladno število, $2p\!\,$ pa je.
• če je $p\equiv 5\ ({\hbox{mod}}\ 8)\!\,$, potem je $p\!\,$ skladno število.
• če je $p\equiv 7\ ({\hbox{mod}}\ 8)\!\,$, potem sta $p\!\,$ in $2p\!\,$ skladni števili.

Znano je tudi, da v vsakem kongruenčnem razredu $\{5,6,7\}\ ({\hbox{mod}}\ 8)\!\,$ za dani $k\!\,$ obstaja neskončno mnogo skladnih števil, deljivih brez kvadrata, s $k\!\,$ prafaktorji.

Viri

• Alter, Ronald (1980), »The Congruent Number Problem«, American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 87 (1): 43–45, doi:10.2307/2320381, JSTOR 2320381
• Bradshaw, Robert; Hart, William B.; Harvey, David; Tornaria, Gonzalo; Watkins, Mark (23. september 2009), Congruent number theta coefficients to 10¹² (PDF), arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 9. marca 2021, pridobljeno 16. septembra 2020
• Chandrasekar, V. (1998), »The Congruent Number Problem« (PDF), Resonance, 3 (8): 33–45, doi:10.1007/BF02837344
• Conrad, Keith (pomlad 2008), »The congruent number problem« (PDF), Harvard College Mathematical Review, 2 (2): 58–73, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 20. januarja 2013
• Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, str. 77, ISBN 978-0-471-66700-1
• Dickson, Leonard Eugene (2005), »Poglavje XVI«, History of the Theory of Numbers, Dover Books on Mathematics, zv. Volume II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4 {{citation}}: |volume= ima odvečno besedilo (pomoč) - podrobneje o zgodovini problema.
• Guy, Richard Kenneth (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics (Book 1) (3. izd.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001 – v delu je podanih veliko virov.
• Koblitz, Neal (1993), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, New York: Springer-Verlag, str. 3, ISBN 0-387-97966-2
• Monsky, Paul (1990), »Mock Heegner Points and Congruent Numbers«, Mathematische Zeitschrift, 204 (1): 45–67, doi:10.1007/BF02570859
• Morrison, Kent E., Congruent Numbers (PDF)
• Ore, Øystein (2012), Number Theory and Its History, Courier Dover Corporation, str. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1
• Tian, Ye (2014), »Congruent numbers and Heegner points«, Cambridge Journal of Mathematics, 2 (1): 117–161, arXiv:1210.8231, doi:10.4310/CJM.2014.v2.n1.a4, MR 3272014
• Tunnell, Jerrold Bates (1983), »A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2«, Inventiones Mathematicae, 72 (2): 323–334, Bibcode:1983InMat..72..323T, doi:10.1007/BF01389327, hdl:10338.dmlcz/137483

Glej tudi

• pitagorejska trojica

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Congruent Number«. MathWorld.
• Kratka razprava o trenutnem stanju problema z več viri se lahko najde v delu Alice Silverberg Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry (Postscript). (angleško)
• A Trillion Triangles - matematiki so razrešili prvih bilijon (10¹²) primerov (s pogojem, da velja Birch- Swinnerton-Dyerjeva domneva). (angleško)