Transponirana matrika

Transponirana matrika (oznaka $A^{\mathrm {T} }\,$, včasih tudi $^{\operatorname {t} }\!A$) je matrika, ki nastane iz matrike $A\,$ pri eni izmed naslednjih enakovrednih operacij:

• zapišemo vrstice matrike $A\,$ kot stolpce matrike $A^{\mathrm {T} }\,$
• zapišemo stolpce matrike $A\,$ kot vrstice matrike $A^{\mathrm {T} }\,$
• zrcalimo matriko $A\,$ preko glavne diagonale
• zavrtimo matriko $A\,$ za 90º v smeri gibanja urinega kazalca in zrcalimo sliko vodoravno, da dobimo $A^{\mathrm {T} }\,$.

To pomeni da vsi $a_{ij}\,$ postanejo $a_{ji}\,$. Postopek zamenjave vrstic in stolpcev se imenuje transponiranje matrike in je zgled enočlene operacije.

Zgledi

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\,$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\,$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;\,$

Značilnosti

Za matriki $A\,$, $B\,$ in skalar $c\,$ so znane naslednje značilnosti transponiranja matrik:

• $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,$

• $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,$

Transpozicija vsote matrik je vsota transponiranih matrik.

• $\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$

Opozorilo: vrstni red množiteljev je obrnjen. Iz tega lahko zaključimo, da je kvadratna matrika $A\,$ obrnljiva matrika (obstoja inverzna), samo, če je obrnljiva tudi $A^{T}\,$, v tem primeru je $(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}\,$

• $(c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$

Transponiranje skalarja nam da isti skalar.

• $\det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,$

Determinanta kvadratne matrike je enaka determinanti transponirane.

• Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ju določata stolpca ($a\,$ in $b\,$) se izračuna kot

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,$

kjer je uporabljen Einsteinov zapis za $a_{j}b^{j}\,$

• $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,$

Transponirana matrika obrnljive matrike (inverzne) je tudi obrnljiva matrika, njena obrnjena matrika je transponirana obrnjene originalne matrike.

• Če je $A\,$ kvadratna matrika, potem so njene lastne vrednosti enake lastnim vrednostim njene transponirane matrike.

Posebne transponirane matrike

• Kvadratna matrika, katere transponirana je enaka sama sebi, je simetrična matrika

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .\,$

• Kvadratna matrika, katere transponirana je tudi obrnjena, se imenuje ortogonalna matrika. To pomeni da je matrika $G\,$ ortogonalna, če je

$\mathbf {GG} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {G} ^{\mathrm {T} }\mathbf {G} =\mathbf {I} _{n},\,$, kjer je $I_{n}\,$ enotska matrika za katero velja $I^{T}=I^{-1}\,$

• Kvadratna matrika, katere transponirana, je enaka negativni, je poševnosimetrična matrika, to pomeni, da je $A\,$ poševnosimetrična, če je

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A} .\,$

• Konjugirano transponirana matrika kompleksne matrike $A\,$ , ki jo zapišemo kot $A^{*}\,$, se dobi s transponiranjem matrike $A\,$ in spremembo vseh elementov v konjugirano kompleksne vrednosti

$\mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })}}.$

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Transpose«. MathWorld.