Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Bézoutova matrika (tudi bezutian) (oznaka
za matriko reda
) je posebna kvadratna matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.
Matrika se imenuje po francoskem matematiku Étiennu Bézoutu (1730 – 1783).
Naj bosta
in
dva kompleksna polinoma z največ
keoficienti, od katerih so nekateri lahko enaki 0. To lahko zapišemo kot
.
Bézoutova matrika reda
za polinoma
in
je enaka
![{\displaystyle B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=1,\dots ,n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca78f103de716e41664cb5fc7b9cd9875582a4b5)
kjer se posamezni koeficienti dobijo iz
.
Uporablja se prostor
in če označimo za vsak
z
, potem je
![{\displaystyle b_{ij}=\sum _{k=1}^{m_{ij}}u_{j+k-1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebadfee06d61fd70d94dacc7a05eb72eac3fe9a)
- Za
imamo za poljubna polinoma
in
stopnje 3
![{\displaystyle B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff772720145bf1774ae3a1b197d16c797a2d534a)
- Naj bosta
in
dva polinoma. Potem je
.
je simetrična matrika
![{\displaystyle B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404ee060d136e5f853f03f8ee16870a3a3ed5b74)
![{\displaystyle B_{n}(f,f)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07aa828355f2f315d181a9a19233844c519c77a)
je bilinearna v (f,g);
je v
če imata
in
realne koeficiente
je nesingularna z
če in samo, če
in
nimata skupnih rešitev
z
ima determinanto, ki je rezultanta polinomov
in
.
Bézoutova matrika se uporablja v teoriji upravljanja (teorija kontroliranja).
Uporabljajo se tudi za testiranje stabilnosti polinomoma.