Deljenje z ničlo

Funkcija $y=1/x\!\,$. Ko se $x\!\,$ približuje 0 z desne, se $y\!\,$ približuje neskončnosti. Ko se $x\!\,$ približuje 0 z leve, se $y\!\,$ približuje negativni neskončnosti.

Deljenje z ničlo je v matematiki deljenje, pri katerem je delitelj (imenovalec) enak nič. Takšno deljenje se lahko formalno izrazi kot ⁠a/0⁠, kjer je a deljenec (števec). V običajni aritmetiki izraz nima smisla, saj ne obstaja nobeno število, ki bi pri množenju z 0 dalo a (če se predpostavi a ≠ 0) in je tako deljenje z ničlo nedoločeno. Ker je katerokoli število pri množenju z nič enako nič, je izraz ⁠0/0⁠ prav tako nedoločen; ko je v obliki limite, je v indeterminantni obliki. Skozi zgodovino je eden izmed najzgodnejših virov matematične nezmnožnosti določanja vrednosti izrazu ⁠a/0⁠ kritika Georgea Berkeleya infinitezimalnega računa iz leta 1734 v The Analyst ("duhovi zapuščenih vrednosti").

Obstajajo matematične strukture, kjer je ⁠a/0⁠ definiran za nek a, kot recimo na Riemannovi sferi in projektivno razširjeni realni premici, toda takšne strukture ne zadostijo niti normalnim pravilom aritmetike (aksiomom polja).

V računalništvu lahko zaradi deljenja z ničlo nastane programska napaka. Od programerskega okolja in vrste števila (torej plavajoča vejica, celo število) je odvisen izpis: lahko izpiše pozitivno ali negativno neskončnost po standardu IEEE 754 za plavajočo vejico, lahko vrže izjeme, proizvede sporočilo napake, konča program, izpiše posebno vrednost NaN. ali se sesuje

Algebra

Štiri osnovne operacije – seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje – na naravnih številih povzročijo razne razširitve te množice. Če želimo na primer odšteti katerokoli naravno število od drugega, potrebujemo novo razširitev množice naravnih števil, sedaj imenovano cela števila, kjer so vključena tudi negativna cela števila. Da pa bi lahko delili katerikoli dve števili, moramo dobljeno množico še naprej razširiti v množico racionalnih števil. Ko razširjamo nove in nove množice, rabimo paziti, da "razširjene operacije" ne ustvarijo drugačnih rezultatov na istih starih številih. Drugače rečeno, ker deljenje z ničlo nima pomena (je nedefinirano) v celih številih, mora to ostati resnično tudi takrat, ko to množico razširimo na realna ali kompleksna števila.

Ko se realnost števil razširi na več operacij, se spremeni tudi njihov pomen. Pri celih številih odštevanje ni več osnovna operacija, ampak samo prištevanje obratne vrednosti. Deljenje pri racionalnih številih ni več osnovna operacija, saj se jo lahko nadomesti z množenjem nekega števila. Ko o tem bolje razmislimo, se vprašanje iz "Zakaj ne moremo deliti z ničlo?" spremeni v "Zakaj ne more imeti racionalno število imenovalca enakega nič?" Odgovor na to spremenjeno vprašanje vključuje vpogled v samo definicijo racionalnih števil.

V modernem načrtovanju polja realnih števil delujejo racionalna števila kot vmesni korak v razvoju, ki je osnovan na teoriji množic. Naravna števila (z ničlo) se najprej postavijo na aksiomih, kot so recimo Peanovi aksiomi, potem pa se to razširi na kolobar celih števil. Naslednji korak je definiranje racionalnih števil, ki jih lahko definiramo le z množicami in prej definiranimi osnovnimi operacijami, ki so seštevanje, množenje in cela števila. Če začnemo z množico urejenih parov celih števil, {(a, b)} kjer velja b ≠ 0, lahko definiramo binarno operacijo na tej množici z (a, b) ≃ (c, d) če in samo če velja ad = bc. Ta relacija je ekvivalenčna relacija, njeni ekvivalenčni razredi pa so racionalna števila. V formalnem dokazu je navedeno, da je to ekvivalenčna relacija s pogojem, da druga koordinata ni enaka nič (za pogojevanje tranzitivnosti).

Zgornja razlaga je za veliko uporab preveč abstraktna in tehnična, toda če bi predpostavili obstoj in lastnosti racionalnih števil, kot se običajno naredi v elementarni matematiki, je "razlog" za nedeljivost z ničlo skrit. Lahko pa podamo (manj strogo) obliko razlage:

Iz lastnosti številskih sistemov, ki jih uporabljamo (celih, racionalnih, realnih števil), za b ≠ 0 in ⁠a/b⁠ = c velja a = b × c. Če predpostavimo, da je ⁠a/0⁠ število c, potem bi moralo veljati a = 0 × c = 0. Toda število c bi lahko potem določili z enačbo 0 = 0 × c, ki ji zadosti vsako število, zato izrazu ⁠0/0⁠ ne moremo določiti dejanske numerične vrednosti.

Deljenje kot inverz množenja

Koncept, ki razloži deljenje v algebri, je ta, da je deljenje inverz množenja. Na primer,

${\frac {6}{3}}=2$

saj je število 2 vrednost za neznano količino, da je enačba

$?\times 3=6$

pravilna. Toda izraz

${\frac {6}{0}}=\,x$

želi imeti vrednost, ki bi zadostila enačbi

$x\times 0=6.$

Toda vsako število je pri množenju z 0 enako 0, zato ni tukaj nobenega števila, ki bi to enačbo rešilo.

Izraz

${\frac {0}{0}}=\,x$

potrebuje vrednost v enačbi

$x\times 0=0.$

Tudi tukaj je vsako število pomnoženo z 0 enako 0, zato tukaj vedno vsako število reši enačbo namesto enega končnega rezultata, ki bi ga lahko upoštevali kot vrednost izraza 0/0.

Na kratko, ne moremo določiti ene vrednosti ulomku, katerega imenovalec je enak 0, zato je vrednost nedefinirana.

Matematične zmote

Velik razlog, da ne dovolimo deljenja z ničlo je ta, da bi pri dovoljenju deljenja nastalo veliko absurdnih rezultatov (matematičnih zmot). Ko delamo z numeričnimi količinami, je enostavno videti, kdaj napravimo ilegalni poskus, da bi delili z ničlo. Poglejmo si sledeči izračun.

S predpostavkama:

${\begin{aligned}0\times 1&=0,\\0\times 2&=0,\end{aligned}}$

velja tudi sledeče:

$0\times 1=0\times 2.$

Če delimo obe strani z ničlo, dobimo:

${\begin{aligned}{\frac {0\times 1}{0}}&={\frac {0\times 2}{0}}\\[6px]{\frac {0}{0}}\times 1&={\frac {0}{0}}\times 2.\end{aligned}}$

Če poenostavimo, dobimo:

$1=2.$

Tukajšnja zmota je predpostavka, da je deljenje 0 z 0 pravilna operacija z enakimi lastnostmi kot deljenje z drugimi števili.

Možno pa je, da prikrito uporabimo deljenje z ničlo v algebraičnem argumentu, iz česar sledijo neveljavni dokazi, kot recimo 1 = 2:

Naj bo 1 = x.

Množimo z x, da dobimo

$x=x^{2}.$

Odštejemo 1 z obeh strani, da dobimo

$x-1=x^{2}-1.$

Delimo obe strani z x − 1

${\begin{aligned}{\frac {x-1}{x-1}}&={\frac {x^{2}-1}{x-1}}\\[6pt]&={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}},\end{aligned}}$

kar se poenostavi v

$1=x+1.$

Ker velja x = 1, dobimo

$1=1+1=2.$

Tukaj se zmota zgodi, ker smo delili z x − 1 = 0, ko je veljalo x = 1.

Zgodovinski spodrsljaji

• 21. septembra 1997 je deljenje z ničlo v sistemu "Remote Data Base Manager" na krovu ladje USS Yorktown (CG-48) zrušilo vse naprave v omrežju, kar je povzročilo padec celotnega omrežja.

Glej tudi

• asimptota
• definirano in nedefinirano
• Division by Zero, kratka zgodba Teda Chianga
• indeterminantna oblika
• delitelj niča

Viri

• Bunch, Bryan (1997) [1982], Mathematical Fallacies and Paradoxes, Dover, ISBN 978-0-486-29664-7
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis, prevod: Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (3. izd.), Dover
• Hamilton, A. G. (1982), Numbers, Sets, and Axioms, Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
• Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J.; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics, Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.). This book is in print and readily available. Suppes's §8.5 The Problem of Division by Zero begins this way: "That everything is not for the best in this best of all possible worlds, even in mathematics, is well illustrated by the vexing problem of defining the operation of division in the elementary theory of arithmetic" (p. 163). In his §8.7 Five Approaches to Division by Zero he remarks that "...there is no uniformly satisfactory solution" (p. 166)
• Schumacher, Carol (1996), Chapter Zero : Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.). This award-winning book is very accessible. Along with the fascinating history of (for some) an abhorrent notion and others a cultural asset, describes how zero is misapplied with respect to multiplication and division.
• Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.). Tarski's §53 Definitions whose definiendum contains the identity sign discusses how mistakes are made (at least with respect to zero). He ends his chapter "(A discussion of this rather difficult problem [exactly one number satisfying a definiens] will be omitted here.*)" (p. 183). The * points to Exercise #24 (p. 189) wherein he asks for a proof of the following: "In section 53, the definition of the number '0' was stated by way of an example. To be certain this definition does not lead to a contradiction, it should be preceded by the following theorem: There exists exactly one number x such that, for any number y, one has: y + x = y"

Nadaljnje branje

 

• Jakub Czajko (July 2004) "Predloga:Doi-inline", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.
• Ben Goldacre (7. december 2006). »Maths Professor Divides By Zero, Says BBC«.
• To Continue with Continuity Arhivirano 2019-09-21 na Wayback Machine. Metaphysica 6, pp. 91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.