Eksponentni razpad

Količina, ki se spreminja po eksponentnem zakonu razpada (padanja). Večja konstanta razpada pomeni, da količina izginja (se manjša) hitreje. Krivulja je prikazana za konstante razpada, ki imajo vrednost 25, 5, 1, 1/5 in 1/25.
Na abcisni osi je nanešen čas, na ordinatni osi pa preostali delež količine (npr. števila jeder snovi ali delcev).

Eksponentni razpad (tudi eksponentno padanje) se pojavlja pri fizikalnih količinah, ki se kaže v tem, da vrednost količine pada sorazmerno s količino. Primer eksponentnega razpada je razpad radioaktivnih jeder, katerih število pade na koncu (po daljšem ali krajšem času) na 0.

Spreminjanje količine $N\,$ (npr. števila jeder ali delcev) lahko zapišemo kot

${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.$.

kjer je

• $N\,$ fizikalna količina, ki jo opazujemo
• $\lambda \,$ pozitivna količina, ki jo imenujemo tudi konstanta razpada
• $t\,$ čas.

Rešitev te diferencialne enačbe je

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.\,$

kjer je

• $N(t)\,$ vrednost količine v času t
• $N(0)\,$ začetna vrednost količine (to je v času $t=0\,$)

Funkcija, ki smo jo dobili kot rešitev, se imenuje naravna eksponentna funkcija, ki ima za osnovo ima število $e\,$ (Eulerjevo število). Splošna eksponentna funkcija pa ima obliko $f(x)=a^{x}\,$, kjer je $a\,$ poljubno pozitivno število.

Kadar je vrednost za $\lambda \,$ negativna, dobimo eksponentno rast.

Podoben pojem se uporablja tudi v biologiji, kjer imamo pogosto opravka z eksponentno rastjo. Uporablja se še na mnogih drugih področjih.

Srednji življenjski čas

Kadar opazujemo množico delcev ali jeder, lahko določimo povprečno življenjsko dobo posamezne vrste delcev ali jeder. V tem primeru lahko dobimo srednji življenjski čas s pomočjo obrazca:

$\tau ={\frac {1}{\lambda }}.$

kjer je

• $\lambda \,$ konstanta razpada

Število delcev po času t je enako:

$N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }.\,$.

Razpolovni čas

Običajno si lažje predstavljamo čas v katerem razpade polovica delcev ali jeder. Ta čas imenujemo razpolovni čas (oznaka $t_{1/2}\,$) in ga izračunamo iz

$t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2.$.

Število delcev (jeder) po času t je enako

$N(t)=N(0)2^{-t/t_{1/2}}.\,$.

To pomeni, da je

$\tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln 2}}=1,442695040888963\cdot t_{1/2}.$

$z^{2}+b^{2}=c^{2}$ [tex]\oint\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}=0[/tex] [tex]\frac{u-1}{\sqrt{u}\cdot\big[u\ln(u-1)-u+1\big]}=\frac{2\aleph}{\bullet}[/tex]

Zunanje povezave

• Eksponentni razpad na Mathworld (angleško)
• Eksponentno podanje in rast Arhivirano 2010-08-23 na Wayback Machine. (angleško)