Izpeljava Schwarzschildove rešitve

Schwarzschildova metrika opisuje prostor-čas pod vplivom masivnega, nevrtečega in sfernosimetričnega telesa. Velja za eno od najpreprostejših in uporabnih rešitev Einsteinovih enačb polja v splošni teoriji relativnosti.

Privzetki in zapis

Delo v koordinatnem diagramu s koordinatami $\left(r,\theta ,\phi ,t\right)\!\,$, označenimi z 1 do 4, se začne z metriko v njeni najbolj splošni obliki (10 neodvisnih komponent, od katerih je vsaka gladka funkcija 4 spremenljivk ). Predpostavlja se, da je rešitev sfernosimetrična, statična in vakuumska. Za namene tega članka so te predpostavke lahko navedene na naslednji način (za točne definicije glej ustrezne povezave):

1. sfernosimetrični prostor-čas je tisti, ki je nespremenljiv glede na vrtenja in zajemanje zrcalne slike.
2. statični prostor-čas je tisti, v katerem so vse metrične komponente neodvisne od časovne koordinate $t\!\,$ (tako da je ${\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0\!\,$) in je geometrija prostora-časa nespremenjena pod časovnim obratom $t\rightarrow -t\!\,$.
3. vakuumska rešitev je tista, ki izpolnjuje enačbo $T_{ab}=0\!\,$. Iz Einsteinovih enačb polja (z ničelno kozmološko konstanto $\Lambda \!\,$) to implicira, da je $R_{ab}=0\!\,$, ker kontrakcija $R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0\!\,$ daje $R=0\!\,$.
4. uporabljena metrična signatura je po dogovoru $(+---)\!\,$.

Diagonalizacija metrike

Prva poenostavitev, ki jo je treba narediti, je diagonalizacija metrike. Pod koordinatno transformacijo $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)\!\,$ morajo vse metrične komponente ostati enake. Metrične komponente $g_{\mu 4}\!\,$ ($\mu \neq 4\!\,$) se pod to transformacijo spremenijo kot:

$g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4},\qquad (\mu \neq 4)\!\,.$

Ker pa se pričakuje $g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}\!\,$ (metrične komponente ostanejo enake), to pomeni, da je:

$g_{\mu 4}=\,0,\qquad (\mu \neq 4)\!\,.$

Podobno koordinatni transformaciji $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)\!\,$ in $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)\!\,$ dajeta:

$g_{\mu 3}=\,0,\qquad (\mu \neq 3)\!\,,$

$g_{\mu 2}=\,0,\qquad (\mu \neq 2)\!\,.$

Če se vse to združi, izhaja:

$g_{\mu \nu }=\,0,\qquad (\mu \neq \nu )\!\,$

in zato mora imeti metrika obliko:

$\operatorname {d} s^{2}=\,g_{11}\,\operatorname {d} r^{2}+g_{22}\,\operatorname {d} \theta ^{2}+g_{33}\,\operatorname {d} \phi ^{2}+g_{44}\,\operatorname {d} t^{2}\!\,,$

kjer so štiri metrične komponente neodvisne od časovne koordinate $t\!\,$ (po statičnem privzetku).

Poenostavitev komponent

Na vsaki hiperploskvi s konstantnim časom $t\!\,$, konstantnima koordinatama $\theta \!\,$ in $\phi \!\,$ (tj. na vsaki radialni črti), mora biti $g_{11}\!\,$ odvisna le od koordinate $r\!\,$ (zaradi sferne simetrije). Zato je $g_{11}\!\,$ funkcija ene spremenljivke:

$g_{11}=A\left(r\right)\!\,.$

Podoben argument, uporabljen za $g_{44}\!\,$, kaže, da je:

$g_{44}=B\left(r\right)\!\,.$

Na hiperploskvah s konstantnim časom $t\!\,$ in konstantno koordinato $r\!\,$ se zahteva, da je metrika 2-sfere:

$\operatorname {d} l^{2}=r_{0}^{2}(\operatorname {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\operatorname {d} \phi ^{2})=r_{0}^{2}\operatorname {d} \Omega ^{2}\!\,.$

Izbira ene od teh hiperploskev (na primer tiste s polmerom $r_{0}\!\,$), metričnih komponent, omejenih na to hiperploskev (ki se jo označi z ${\tilde {g}}_{22}\!\,$ in ${\tilde {g}}_{33}\!\,$), bi morala biti nespremenjena pri vrtenjih skozi $\theta \!\,$ in $\phi \!\,$ (spet po sferni simetriji). Primerjava oblik metrike na tej hiperploskvi daje:

${\tilde {g}}_{22}\left(\operatorname {d} \theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,\operatorname {d} \phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}\operatorname {d} \Omega ^{2}\!\,,$

od koder takoj sledi:

${\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}\!\,$ in ${\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta \!\,.$

Toda to mora veljati za vsako hiperploskev in zato:

$g_{22}=\,r^{2}\!\,$ in $g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta \!\,.$

Alternativni intuitivni način, da se vidi, da morata $g_{22}\!\,$ in $g_{33}\!\,$ biti enaki, ker kot za ravni prostor-čas raztezanje ali stiskanje elastične snovi v sfernosimetričnem načinu (radialno) ne bo spremenilo kotne razdalje med dvema točkama.

Tako se lahko metriko zapiše v obliki:

$\operatorname {d} s^{2}=A\left(r\right)\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \Omega ^{2}+B\left(r\right)\operatorname {d} t^{2}\!\,$

z $A\!\,$ in $B\!\,$ kot še nedoločenima funkcijama koordinate $r\!\,$. Če sta v kakšni točki $A\!\,$ ali $B\!\,$ enaki nič, bo v tej točki metrika singularna.

Izračun Christoffelovih simbolov

Z uporabo zgornje metrike se najde Christoffelove simbole, kjer so indeksi $(1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)\!\,$. Znak $'$ označuje totalni odvod funkcije.

$\Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}\!\,,$

$\Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\!\,,$

$\Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\operatorname {ctg} \theta &0\\1/r&\operatorname {ctg} \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\!\,,$

$\Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}\!\,.$

Določitev funkcij A(r) in B(r) z enačbami polja

Za določitev funkcij $A\!\,$ in $B\!\,$ se uporabijo enačbe vakuumskega polja:

$R_{\alpha \beta }=\,0\!\,.$

Tako je:

${\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0\!\,,$

kjer je vejica uporabljena za ločitev indeksa, ki se uporablja za odvod. Riccijeva ukrivljenost je diagonalna v danih koordinatah:

$R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)^{'}\!\,,$

$R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)\!\,,$

$R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right)\!\,,$

$R_{\phi \phi }=R_{\theta \theta }\sin ^{2}\theta \!\,,$

kjer črtica pomeni $r\!\,$-ti odvod funkcij.

Samo tri enačbe polja so netrivialne (četrta enačba je samo za vrednost $\sin ^{2}\theta \!\,$ večja od tretje enačbe) in ob poenostavitvi postanejo:

$4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0\!\,,$

$-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0\!\,,$

$rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0\!\,.$

Če se odštejeta prva in druga enačba, sledi:

$A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K\!\,,$

kjer je $K\!\,$ neničelna realna konstanta. Če se $A(r)B(r)\,=K\!\,$ vstavi v tretjo enačbo in preuredi, je:

$rA'=A(1-A)\!\,,$

ki ima splošno rešitev:

$A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}\!\,$

za poljubno neničelno realno konstanto $S\!\,$. Tako ima metrika za statično, sfernosimetrično vakuumsko rešitev obliko:

$\operatorname {d} s^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \Omega ^{2}+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\operatorname {d} t^{2}\!\,.$

Upoštevati je treba, da je prostor-čas, ki ga predstavlja zgornja metrika, asimptotično raven, to je ko gre $r\rightarrow \infty \!\,$, se metrika približuje metriki Minkowskega in prostorskočasovna mnogoterost spominja na prostor Minkovskega.

Uporaba približka šibkega polja za določitev K in S

Ta diagram prikazuje pot do iskanja Schwarzschildove rešitve z uporabo približka šibkega polja. Enakost v drugi vrstici daje $g_{44}=-c^{2}+2GM/r\!\,$, ob predpostavki da želena rešitev degenerira v metriko Minkowskega, ko se gibanje zgodi daleč stran od črne luknje (koordinata $r\!\,$ se približa pozitivni neskončnosti).

Geodetka metrike (dobljene, kjer je $\operatorname {d} s\!\,$ ekstremiran) se morajo v neki meji (npr. proti neskončni svetlobni hitrosti) skladati z rešitvami Newtonovega gibanja (npr. dobljene z Lagrangeevimi enačbami). (Metrika mora biti omejena tudi na prostor Minkowskega, ko masa, ki jo predstavlja, izgine.):

$0=\delta \int {\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}\operatorname {d} t=\delta \int ({\rm {KE}}+{\rm {PE}}_{g})\operatorname {d} t\!\,,$

kjer je ${\rm {KE}}\!\,$ kinetična energija in ${\rm {PE}}_{g}\!\,$ potencialna energija zaradi gravitacije. Konstanti $K\!\,$ in $S\!\,$ sta v celoti določeni s kakšno različico tega pristopa. Približek šibkega polja da rezultat:

$g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)\!\,,$

kjer je $G\!\,$ gravitacijska konstanta, $m\!\,$ masa gravitacijskega vira in $c\!\,$ hitrost svetlobe. Ugotovljeno je, da velja:

$K=\,-c^{2}\!\,$ in ${\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}\!\,.$

Zato velja:

$A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}\!\,$ in $B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)\!\,.$

Tako se lahko Schwarzschildova metrika končno zapiše v obliki:

$\operatorname {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \Omega ^{2}-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)\operatorname {d} t^{2}\!\,.$

Pri tem je:

${\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{\rm {s}}\!\,$

definicija Schwarzschildovega polmera za telo z maso $m\!\,$. Če se postavi:

$\gamma _{\rm {s}}=1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\!\,,$

se lahko Schwarzschildova metrika zapiše v alternativni obliki:

$\operatorname {d} s^{2}={\frac {\operatorname {d} r^{2}}{\gamma _{\rm {s}}}}+r^{2}\operatorname {d} \Omega ^{2}-c^{2}\gamma _{\rm {s}}\operatorname {d} t^{2}\!\,,$

kar kaže, da metrika postane singularna, ko se približuje dogodkovnemu obzorju (to je pri $r\rightarrow r_{\rm {s}}\!\,$). Metrična singularnost ni fizična (čeprav obstaja resnična fizična singularnost pri $r=0\!\,$), kar se lahko pokaže z uporabo ustrezne koordinatne transformacije (npr. Kruskal-Szekeresov koordinatni sistem).

Alternativna izpeljava z uporabo znane fizike v posebnih primerih

Schwarzschildovo metriko je mogoče izpeljati tudi z uporabo znane fizike za krožni tir in začasno stacionarno točkovno maso. Začne se z metriko s koeficientoma, ki sta neznana koeficienta koordinate $r\!\,$:

$-c^{2}=\left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} \tau }}\right)^{2}=A(r)\left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \tau }}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \tau }}\right)^{2}+B(r)\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \tau }}\right)^{2}\!\,.$

Sedaj se uporabi Euler-Lagrangeevo enačbo za integral dolžine loka ${J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left(\operatorname {d} s/\operatorname {d} \tau \right)^{2}}}\,\operatorname {d} \tau }\!\,$. Ker je $\operatorname {d} s/\operatorname {d} \tau \!\,$ konstanta, se lahko integrand zamenja z $(\operatorname {d} s/\operatorname {d} \tau )^{2}\!\,$, saj je Euler-Lagrangeeva enačba popolnoma enaka, če se integrand pomnoži s poljubno konstanto. Uporaba Euler-Lagrangeeve enačbe za $J\!\,$ s spremenjenim integrandom daje:

${\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}\!\,,$

kjer pika označuje časovni odvod glede na $\tau \!\,$.

Na krožnem tiru velja ${\dot {r}}={\ddot {r}}=0\!\,$, tako da je zgornja prva Euler-Lagrangeeva enačba enakovredna:

$2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(\operatorname {d} \phi /\operatorname {d} t)^{2}\!\,.$

Tretji Keplerjev zakon je:

${\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\!\,.$

Na krožnem tiru je orbitalna perioda $T\!\,$ enaka $2\pi /(\operatorname {d} \phi /\operatorname {d} t)\!\,,$ kar da:

$\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}={\frac {GM}{r^{3}}}\!\,,$

ker je točkovna masa $m\!\,$ zanemarljiva v primerjavi z maso osrednjega telesa $M\!\,$. Tako je $B'(r)=-2GM/r^{2}\!\,$ in integracija tega daje $B(r)=2GM/r+C\!\,$, kjer je $C\!\,$ neznana konstanta integracije. $C\!\,$ je mogoče določiti z nastavitvijo $M=0\!\,$, ko je prostor-čas raven in $B(r)=-c^{2}\!\,$. Tako je $C=-c^{2}\!\,$ in:

$B(r)={\frac {2GM}{r}}-c^{2}=c^{2}\left({\frac {2GM}{c^{2}}}r-1\right)=c^{2}\left({\frac {r_{\rm {s}}}{r}}-1\right)\!\,.$

Ko točkovna masa začasno miruje, je ${\dot {r}}=0\!\,$ in ${\dot {\phi }}=0\!\,$. Izvirna metrična enačba postane ${\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)\!\,$ in prva Euler-Lagrangeeva enačba zgoraj postane $A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}})\!\,$. Ko točkovna masa začasno miruje, je ${\ddot {r}}\!\,$ gravitacijski pospešek $-MG/r^{2}\!\,$. Tako je:

$A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{\rm {s}}/r}}={\frac {1}{\gamma _{\rm {s}}}}\!\,.$

Alternativna oblika v izotropnih koordinatah

Izvirna formulacija metrike uporablja anizotropne koordinate, v katerih hitrost svetlobe ni enaka v radialni in prečni smeri. Arthur Stanley Eddington je podal alternativne oblike v izotropnih koordinatah. Za izotropne sferne koordinate $r_{1}\!\,$, $\theta \!\,$ in $\phi \!\,$ sta koordinati $\theta \!\,$ in $\phi \!\,$ nespremenjeni. Tako pri $r\geq {\frac {2Gm}{c^{2}}}\!\,$ velja:

$r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}\!\,$,       $\operatorname {d} r=\operatorname {d} r_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)\!\,$       in

$\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}\!\,.$

Tako ima za izotropične pravokotne koordinate $x\!\,$, $y\!\,$, $z\!\,$:

$x=r_{1}\,\sin \theta \,\cos \phi ,\qquad y=r_{1}\,\sin \theta \,\sin \phi ,\qquad z=r_{1}\,\cos \theta \!\,$

metrika v izotropičnih pravokotnih koordinatah obliko:

$\operatorname {d} s^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2})-c^{2}\operatorname {d} t^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}\!\,.$

Opustitev statičnega privzetka – Birkhoffov izrek

Pri izpeljavi Schwarzschildove metrike se je predpostavilo, da je metrika vakuumska, sfernosimetrična in statična. Statični privzetek je nepotreben, saj Birkhoffov izrek pravi, da je vsaka sfernosimetrična vakuumska rešitev Einsteinovih enačb polja stacionarna – tako sledi Schwarzschildova rešitev. Birkhoffov izrek ima za posledico, da vsaka pulzirajoča zvezda, ki ostane sfernosimetrična, ne ustvarja gravitacijskega valovanja, saj območje zunaj zvezde ostaja statično.

Glej tudi

• Karl Schwarzschild
• Kerrova metrika
• Reissner-Nordströmova metrika

Viri

• Brown, Kevin (2004), »Reflections on Relativity«, mathpages.com

• Buchdahl, Hans Adolf (1985), »Isotropic coordinates and Schwarzschild metric«, International Journal of Theoretical Physics, 24 (7): 731–739, Bibcode:1985IJTP...24..731B, doi:10.1007/BF00670880, ISSN 0020-7748, S2CID 121246377

• Eddington, Arthur Stanley (1960) [1922], The Mathematical Theory of Relativity (2. izd.), Cambridge University Press, str. 85 in str. 93 Uporaba simbolov v Eddingtonovemu viru za interval $s\!\,$ in časovno koordinato $t\!\,$ je bila pretvorjena zaradi združljivosti z uporabo v zgornji izpeljavi.

• Schwarzschild, Karl (1916a), »Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie«, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 7: 189–196, Bibcode:1916AbhKP1916..189S

• besedilo izvirnega članka v Wikiviru
• prevod v angleščino: Antoci, S.; Loinger, A. (1999). »On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory«. arXiv:physics/9905030.
• komentar članka z enostavnejšo izpeljavo: Bel, Lluís (2007). »Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie«. arXiv:0709.2257 [gr-qc].

• Schwarzschild, Karl (1916b), »Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit«, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1: 424

• besedilo izvirnega članka v Wikiviru
• prevod v angleščino: Antoci, S. (1999). »On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory«. arXiv:physics/9912033.

• Schwarzschild, Karl (1998), »Pismo Albertu Einsteinu 22. decembra 1915 z ruske fronte; doc. no. 169«, The Collected papers of Albert Einstein (ECP), zv. 8A, str. 224