Jedro (tudi ničelni prostor) (oznaka
) je v linearni algebri za matriko A množica vseh vektorjev x za katere velja Ax = 0.
Jedro matrike z n stolpci je linearni podprostor n razsežnega evklidskega prostora [1]
Razsežnost ničelnega prostora se imenuje ničelnost (tudi defekt) matrike A.
Jedro matrike m × n matrike A je množica
[2]
kjer 0 pomeni ničelni vektor z m komponentami. Matrična enačba Ax = 0 je enakovredna homogenemu sistemu linearnih enačb:
![{\displaystyle \mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {0}}\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&\vdots \,&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0.&\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82929383987d6e8ca720063f598c161b95f23e)
Iz tega gledišča je ničelni prostor A enak rešitvi homogenega sistema.
Obravnavajmo matriko
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195dae6402b735ee40e67147dd8a0db8daa4cb70)
Ničelni prostor matrike sestavljajo vsi vektorji (x, y, z) ∈ R3 za katere velja
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b98a92110bb7bb32486c443ea355abf5e58bdd4)
To lahko pišemo kot homogen sistem linearnih enačb, ki vključujejo x, y in z:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930c8388b6aeef09224a288ca19e29ad8154cf50)
To lahko pišemo v matrični obliki:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5714ae9767da1d68a8826f59d3f1df192764c1a7)
Z uporabo Gaussove eliminacijske metode dobimo:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd8ba9c851e7adfab7845d89e0f4620e56be52d)
Ponovno pisanje nam da:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x=\;&&-{\frac {1}{16}}c\,\,\,\\y=\;&&-{\frac {13}{8}}c.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e4dd6cea2e76cde6858e9f17ddcfefe7d86149)
Sedaj lahko pišemo za ničelni prostor (rešitev za Ax = 0) izraženo v vrednosti za c, kjer je c skalar:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa1c47dcb52de065c593e4a0a0dd36218c14937)
Ker pa je c spremenljivka, lahko to poenostavimo v
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45af15e840fececc9b908df597ef14fc1983b13)
Ničelni prostor za A je množica rešitev teh enačb (v tem primeru je to premica skozi izhodišče v R3).
Ničelni prostor za m × n matrike je podprostor za Rn. Ta množica Null(A) ima naslednje lastnosti:
- Null(A) vedno vključuje ničelni vektor.
- Če je x ∈ Null(A) in y ∈ Null(A), potem velja x + y ∈ Null(A).
- Če je x ∈ Null(A) in je c skalar, potem je tudi c x ∈ Null(A).
Na ničelni prostor matrike ne vplivajo elementarne vrstične operacije. To omogoča možnost uporabe zmanjšanja vrstic, da bi našli bazo za ničelni prostor:
- Vhod m × n matrika A.
- Izhod baza ničelnega prostora A
- Uporaba elementarnih vrstičnih operacij A v reduciranih vrstična ešelonska oblika.
- Interpretacija reducirane vrstične ešelonske oblike kot homogenega linearnega sistema, ki določa katera od spremenljivk x1, x2, ..., xn so proste spremenljivke. Napišemo enačbe za odvisne spremenljivke v odvisnosti od prostih spremenljivk.
- za vsako prosto spremenljivko xi, izberemo vektor v ničelnem prostoru za katerega je xi = 1 in ostale proste spremenljivke so nič. Nastala skupina vektorjev je baza za ničelni prostor v A.
Na primer, predpostavimo, da ima reducirani vrstični ešelon obliko za A
![{\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&-8\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15cb8fd313b02c7489cfac4a85124a92cf6620e)
V tem primeru ima rešitev homogenega sistema v parametrični obliki z x3, x5 in x6 kot prostimi spremenljivkami so
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&3x_{3}&&\;-\;&&2x_{5}&&\;+\;&&8x_{6}&\\x_{2}&&\;=\;&&-5x_{3}&&\;+\;&&x_{5}&&\;-\;&&4x_{6}&\\x_{4}&&\;=\;&&&&\;-\;&&7x_{5}&&\;+\;&&9x_{6}&.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd97a8a6ea02c0d16885ab21aead298de3b0a6c)
To lahko zapišemo kot
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{bmatrix}}=x_{3}{\begin{bmatrix}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}+x_{5}{\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{bmatrix}}+x_{6}{\begin{bmatrix}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{bmatrix}}{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897d6a14473a3dfafafdc525134cc3c191b1ad86)
Torej so trije vektorji
![{\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\\mathbf {0} \\-7\\\mathbf {1} \\\mathbf {0} \end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\\mathbf {0} \\9\\\mathbf {0} \\\mathbf {1} \end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dcd1598136d5dd7f45e53928b2f3ce23ff8feab)
baza ničelnega prostora za A.
Ničelni prostor ima prav tako svojo vlogo pri rešitvah nehomogenega sistema linearnih enačb:
![{\displaystyle \mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {b}}\;\;\;\;\;\;{\text{ali}}\;\;\;\;\;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43829673c75cdb0b9b67c454327d6a194ea9fe81)
Če sta u in v dve možni rešitvi zgornje enačbe, potem velja
![{\displaystyle \mathbf {A} ({\textbf {u}}-{\textbf {v}})=\mathbf {A} {\textbf {u}}-\mathbf {A} {\textbf {v}}={\textbf {b}}-{\textbf {b}}={\textbf {0}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f750134b2793a88ede3d0a9c4d0d3c4ce09ead5c)
To pa pomeni, da razlika dveh rešitev enačbe Ax = b leži v ničelnem prostoru matrike A.
Iz tega sledi, da se vsaka rešitev enačbe Ax = b lahko izrazi kot vsota fiksnih rešitev poljubnih elementov iz ničelnega prostora. To pomeni, da za množico rešitev enačbe Ax = b velja
![{\displaystyle \left\{{\textbf {v}}+{\textbf {x}}\,:\,{\textbf {x}}\in {\text{Null}}(\mathbf {A} )\,\right\}{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c89b12bcbcc3b51b954d4d5ad327727d6ea725)
kjer je v poljuben fiksni vektor, ki zadošča pogoju Av = b. Geometrijsko je to pomeni, da je množica rešitev enačbe Ax = b preslikava ničelnega prostora za A z vektorjem v.
- ↑ Linearna algebra, kot se obravnava tukaj, je zelo dobro osnovana matematična panoga, za katero je zelo veliko virov. Skoraj vse iz tega članka se najde v Lay 2005, Meyer 2001 in Strang 2005.
- ↑
Te enačbe uporabljajo notacijo množice.