Konstanta omega je matematična konstanta določena kot:
![{\displaystyle \Omega \,e^{\Omega }=1\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94f8314bcd9d57a489ef10627b3e6f968163d51)
Je vrednost
:
![{\displaystyle \Omega \equiv \operatorname {W} _{0}(1)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051044c01ff24cdf61125dc63e4a59bb9385f274)
kjer je
Lambertova funkcija W za realne argumente, ki je rešitev enačbe:
![{\displaystyle x={\frac {1}{e^{x}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9084afc0b75f0624788254001784f64bfde2beac)
oziroma:
![{\displaystyle x=\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbf4652e742a039fe0a21ef133d35b47fdf1493)
Ime konstante izhaja iz drugega imena za Lambertovo funkcijo W, funkcije Ω.
Številska desetiška vrednost je približno: (OEIS A030178)
![{\displaystyle \Omega =0,5671432904097838729999686622\ldots \!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43f0e7e08169dd010ffc86f0de409f0bef3503e)
Za konstanto velja:
![{\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega \!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b54232b66a1982d1d9f27dd42d30a50dd61d15)
oziroma enakovredno:
![{\displaystyle {\frac {1}{\Omega }}=e^{\Omega }\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba69bab6ec24baf4c7166a00f5b6a2ef00a19b2)
kar da:
![{\displaystyle \ln \Omega ^{-1}=\Omega \!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f150afe098f959805c1435ffd079d9ee0cdea291)
Zapišemo jo lahko tudi s tetracijo:
![{\displaystyle \Omega =u^{u^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062ad215f974bd844bd5306c9c6d16cfae64dc92)
kjer je
.
Konstanto Ω lahko izračunamo iterativno, če začnemo S poljubno z vrednostjo Ω0 (npr. Ω0 = 1), in upoštevamo zaporedje:
![{\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b602a0810bcd2b111b793dd59a88cc0a2361195)
To zaporedje bo pri n→∞ konvergiralo k Ω, sicer počasi. Hitreje konvergira zaporedje:
![{\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b843e7453876eaa06262c52baad7e61d9b6e15f5)
Konstanto lahko zapišemo z integralom:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1+\Omega }}=0,6381037433651107785224073855\ldots \!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/427e4ca523abe591de67df7ef1f5f6e4ef68fe35)
v primerjavi z:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x+1)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5628623ab5614777b77a08fb8122b79f1f83655a)
Iracionalnost in transcendentnost[uredi | uredi kodo]
Da je Ω iracionalno število, se lahko dokaže iz dejstva, da je e transcendentno število. Če bi bila Ω racionalno število, bi obstajali takšni celi števili p in q, da bi veljalo:
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega \!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd729b2f6a121e77dd902a8ea36dfd384a7da928)
in naprej:
![{\displaystyle 1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce81c70761055e3e3df7e8a36776ff08a93c3619)
![{\displaystyle e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bea26498827364256d470b5d77311d35632975)
e pa bi bilo algebrsko število stopnje p. Ker je e trancendentno število, mora biti Ω iracionalno.
Ω je dejansko transcendetno število, kar je neposredna posledica Lindemann-Weierstrassovega izreka. Če bi bila Ω algebrsko število, bi bilo exp(Ω) transcendentno, in prav tako exp−1(Ω). To pa nasprotuje privzetku, da je algebrsko.