Krožna matrika

Krožna matrika (tudi ciklična matrika) je posebna vrsta Toeplitzove matrike. V krožni matriki se vsak vrstični vektor zavrti za en element proti desni glede na njemu predhodni vrstični vektor.

Definicija

Krožna matrika razsežnosti $n\times n\,$ ima obliko

C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\dots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}.

Krožna matrika je že popolnoma določena samo z enim vektorjem, ki se nahaja v prvi vrstici matrike. Vse ostale vrstice so samo ciklične permutacije tega vektorja. Zadnja vrstica je obratni vektor prvega vektorja.

Lastni vektorji in lastne vrednosti krožne matrike

Lastni vektorji krožne matrike so dani z

v_{j}=(1,~\omega _{j},~\omega _{j}^{2},~\ldots ,~\omega _{j}^{n-1})^{T},\,

kjer je

$\omega _{j}=\exp(2\pi ij/n);~~j=0\ldots n-1$
$i={\sqrt {-1}}\,$ imaginarna enota

Konstante $\omega _{0},~\omega _{1},~\ldots ,~\omega _{n-1}$ so n-ti koreni enote, ki zadoščajo $\omega _{j}^{n}=1\,$ .

Lastne vrednosti so enake

\lambda _{j}=c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\ldots +c_{1}\omega _{j}^{n-1},~~j=0\ldots n-1\,

.

Determinanta krožne matrike

Determinanto krožne matrike izračunamo s pomočjo obrazca

{\mbox{det}}(C)=\prod _{j=0}^{n-1}(c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\dots +c_{1}\omega _{j}^{n-1})

kjer je

$\omega _{j}=\exp(2\pi ij/n);~~j=0\ldots n-1$
$i={\sqrt {-1}}\,$ imaginarna enota

ker pa transponiranje ne spremeni lastnih vrednosti matrike, lahko to zapišemo tudi kot

{\mbox{det}}(C)=\prod _{j=0}^{n-1}(c_{0}+c_{1}\omega _{j}+c_{2}\omega _{j}^{2}+\dots +c_{n-1}\omega _{j}^{n-1}).

.

Lastnosti

Za krožno matriko velja

C=c_{0}I+c_{1}P+c_{2}P^{2}+\ldots +c_{n-1}P^{n-1}\,

kjer je

P={\begin{bmatrix}0&0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0&0\\0&1&0&\ldots &0&0\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&0&\ldots &1&0\end{bmatrix}}\,

ciklična permutacijska matrika

Krožne matrike tvorijo komutativno algebro, ker je za poljubni dve matriki $A\,$ in $B\,$ , vsota $A+B\,$ tudi krožna matrika, prav tako je krožna matrika tudi njun produkt $AB\,$ , ter tudi velja $AB=BA\,$ ,
Lastni vektorji krožne matrike so stolpci matrike enotske diskretne Fourierjeve transformacije, ki jo lahko prikažemo kot Vandermondovo matriko .