Lagrangeeva enakost

Lagrangeeva enákost ali Lagrangeeva identitéta [lagránževa ~] je v algebri enakost:

{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggl (}={1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )}\!\,,

ki velja za dve poljubni množici {a₁, a₂, . . ., a_n} in {b₁, b₂, . . ., b_n} realnih ali kompleksnih števil (oziroma splošneje, elementov komutativnega kolobarja). Ta enakost je poseben primer Binet-Cauchyjeve enakosti. Za kompleksna števila jo lahko zapišemo tudi v obliki:

{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}\!\,,

kjer uporabimo absolutno vrednost.^[1]^[2]

Enakost se imenuje po Joseph-Louisu de Lagrangeu.

Ker je desna stran enakosti nenegativna, vsebuje Cauchy-Schwarzevo neenakost v končno razsežnem realnem koordinatnem prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ in njegovem kompleksnem ustrezniku $\mathbb {C} ^{n}$ .

Lagrangeeva enakost in zunanja algebra

Lagrangeevo enakost lahko zapišemo s pomočjo zunanjega produkta:

(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b)\!\,.

Nanjo lahko zato gledamo kot na enačbo, ki določa dolžino zunanjega produkta dveh vektorjev, kar je ploščina paralelograma, ki ga oklepata, in z izrazi skalarnega produkta dveh vektorjev:

\|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}\!\,.

Lagrangeeva enakost in vektorski račun

Če sta ${\vec {\mathbf {a} }}$ in ${\vec {\mathbf {b} }}$ vektorja v $\mathbb {R} ^{3}$ , lahko Lagrangeevo enakost zapišemo z vektorskim in skalarnim produktom:

|{\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}|^{2}+({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})^{2}=|{\vec {\mathbf {a} }}|^{2}|{\vec {\mathbf {b} }}|^{2}=({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})({\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\!\,,

oziroma:

{\begin{aligned}({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})\cdot ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})&=({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})({\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})-({\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})^{2}\\&=({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {a} }}-({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})\cdot {\vec {\mathbf {b} }}\\&=({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {b} }}-({\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {a} }}\\&={\begin{vmatrix}{\vec {\mathbf {a} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {a} }}{\vec {\mathbf {b} }}\\{\vec {\mathbf {b} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {b} }}{\vec {\mathbf {b} }}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

To je poseben primer multiplikativnosti norme v kvaternionski algebri:

|vw|=|v||w|\!\,,

oziroma bolj splošno:

{\begin{aligned}({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {w} }})\cdot ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})&=({\vec {\mathbf {v} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})({\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})-({\vec {\mathbf {v} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})({\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})\\&=({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {a} }}-({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {w} }}\cdot {\vec {\mathbf {a} }})\cdot {\vec {\mathbf {b} }}\\&=({\vec {\mathbf {v} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {w} }}-({\vec {\mathbf {w} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }})\cdot {\vec {\mathbf {v} }}\\&={\begin{vmatrix}{\vec {\mathbf {v} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {v} }}{\vec {\mathbf {b} }}\\{\vec {\mathbf {w} }}{\vec {\mathbf {a} }}&{\vec {\mathbf {w} }}{\vec {\mathbf {b} }}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun

V Sturm-Liouvilleovi teoriji lahko Lagrangeevo enakost zapišemo kot:

\int _{0}^{1}(Lu)v-u(Lv)\,dx=-p(u'v-uv'){\bigg |}_{0}^{1}

^[3]

kjer so $p=P(x)$ , $q=Q(x)$ , $u=U(x)$ in $v=V(x)$ funkcije $x$ . $u$ in $v$ imata zvezni drugi odvod na intervalu $[0,1]$ . $L$ je Sturm-Liouvilleov diferencialni operator, določen kot:

Lu=-(pu')'+qu\!\,.

Glej tudi

Brahmaguptova enakost

Opombe in sklici

↑ Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: Ameriško matematično društvo. str. 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9.;
↑ Palka, Bruce P. (1991). An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. str. 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9..
↑ Boyce, William E.; Richard C., DiPrima (2001). »Boundary Value Problems and Sturm–Liouville Theory«. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (PDF) (v angleščini) (7 izd.). New York: John Wiley & Sons. str. 630. ISBN 9780471319993. OCLC 64431691. (za dve poglavji Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun in Oblika v infinitezimalnem računu tega članka)

Ta matematični članek je škrbina. Pomagajte Wikipediji in ga razširite.

[1] Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: Ameriško matematično društvo. str. 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9.;

[2] Palka, Bruce P. (1991). An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. str. 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9..

[Boyce_2001-3] Boyce, William E.; Richard C., DiPrima (2001). »Boundary Value Problems and Sturm–Liouville Theory«. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (PDF) (v angleščini) (7 izd.). New York: John Wiley & Sons. str. 630. ISBN 9780471319993. OCLC 64431691. (za dve poglavji Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun in Oblika v infinitezimalnem računu tega članka)

[1]

[2]

[3]