Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Legendrovi polinómi [ležándrovi ~] so rešitve Legendrove diferencialne enačbe:
![{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd98eabcd3c1cc968a6f72c588f6a84a40ecf2b)
Imenovani so po Adrien-Marieu Legendru. Ta navadna diferencialna enačba je pogosto rabljena v fiziki in na drugih tehničnih področjih. Pojavi se pri reševanju Laplaceove enačbe in sorodnih parcialnih diferencialnih enačbah v sfernih koordinatah.
![{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c977cfcb8faa7d7a93c43ffea99a2238c6296cf3)
Pomembna značilnost Legendrovih polinomov je, da so ortogonalni v L2 na intervalu −1 ≤ x ≤ 1:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ac7838ad7f4d1135a6fa697309f4c048182c3a)
(kjer je δmn oznaka za Kroneckerjevo delto, ki je 1, ko je m = n in 0 sicer).
Zgledi Legendrovih polinomov[uredi | uredi kodo]
Prvih nekaj Legendrovih polinomov:
n |
![{\displaystyle P_{n}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced0c8017e2e633e34a03700e554bff311d9a6a0) |
0 |
![{\displaystyle 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1 |
![{\displaystyle x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398) |
2 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d8bbfaa2ff4a46a6adf746942cb830ab03cc2e) |
3 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38629e4e47ba916095663e616bf4d6d11b240643) |
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|