Matrika zamenjave

Matrika zamenjave je posebna oblika permutacijske matrike. Ta vrsta matrike ima elemente, ki so enaki $1\,$ na antidiagonali, ki poteka od desnega zgornjega kota do levega spodnjega kota matrike, na ostalih mestih pa ima same ničle. To pomeni, da matriko zamenjave dobimo z zamenjavo vrstic ali zamenjavo stolpcev v enotski matriki.

Primeri

J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}};\quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}.

Definicija

Če z $J\,$ označimo matriko, potem je posamezen element v matriki enak

J_{i,j}={\begin{cases}1,&j=n-i+1\\0,&j\neq n-i+1\\\end{cases}}

Lastnosti

$J^{T}=J\,$
$J^{n}=I\,$ za parne $n\,$ oziroma $J^{n}=J\,$ za neparne $n\,$ . Matrika $J\,$ je involutarna matrika, kar pomeni, da je $J^{-1}=J\,$
sled matrike $J\,$ \,</math> je 1, če je $n\,$ neparen oziroma je enak 0, če je $n\,$ paren
katerakoli matrika $A\,$ \,</math> za katero velja $AJ=JA\,$ je matrika $A\,$ centrosimetrična matrika
kadar pa za matriko $A\,$ velja $AJ=JA^{T}\,$ je matrika $A\,$ persimetrična