Metrični prostor
Métrični prôstor je v matematiki množica (ali »prostor«), v kateri je določena metrika - to je razdalja med njenimi elementi. Metrični prostor, ki je najbolj podoben našemu intuitivnemu razumevanju stvarnosti, je 3-razsežni evklidski prostor. Evklidska metrika tega prostora določa razdaljo med dvema točkama kot dolžino daljice, ki ju povezuje.
Geometrija prostora je odvisna od izbrane metrike. Z izbiro različnih metrik se lahko konstruira zanimive neevklidske geometrije, ki se uporabljajo v splošni teoriji relativnosti.
Metrični prostor sproža topološke lastnosti kot so odprte in zaprte množice, kar vodi do raziskovanja še bolj abstraktnih topoloških prostorov.
Zgodovina
[uredi | uredi kodo]Metrične prostore je leta 1906 uvedel francoski matematik Maurice René Fréchet v svojem članku Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1-74.
Stroga definicija
[uredi | uredi kodo]Metrični prostor M je množica točk s pripadajočo funkcijo (metriko) d : M × M -> R (kjer je R množica realnih števil).
Za vse x, y, z v M morajo za to funkcijo veljati naslednji pogoji:
- d(x, y) ≥ 0 (nenegativnost)
- d(x, y) = 0, če in samo če x = y (enakost nerazdeljivosti)
- d(x, y) = d(y, x) (simetričnost)
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (trikotniška neenakost).
