Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom (tudi množenje vektorja s skalarjem) je matematična operacija, ki številu (skalarju) $n$ in vektorju ${\vec {a}}$ priredi vektor $n{\vec {a}}$ .

Opozorilo: Množenje vektorja s skalarjem ni isto kot skalarni produkt – teh dveh računskih operacij ne smemo zamenjevati.

Definicija

Rezultat množenja vektorja ${\vec {a}}$ s številom $n$ je vektor $n{\vec {a}}$ , določen z naslednjimi lastnostmi:

Vektor $n{\vec {a}}$ je vzporeden z danim vektorjem ${\vec {a}}$ .
Dolžina vektorja $n{\vec {a}}$ je $|n|$ -krat tolikšna kot dolžina vektorja ${\vec {a}}$ .
Če je $n>0$ , je $n{\vec {a}}$ enako orientiran kot ${\vec {a}}$ ; če je $n<0$ , pa je $n{\vec {a}}$ orientiran nasprotno kot ${\vec {a}}$ .
Če množimo vektor ${\vec {a}}$ s številom $0$ , dobimo ničelni vektor ${\vec {0}}$ .

Množenje vektorja s (pozitivnim) številom torej pomeni razteg ali skrčitev vektorja, njegova smer pa ostane nespremenjena.

Lastnosti

Množenje vektorja s številom ima naslednje računske lastnosti:

Distributivnost glede na seštevanje števil: $(n+m){\vec {a}}=n{\vec {a}}+m{\vec {a}}$
Distributivnost glede na seštevanje vektorjev: $n({\vec {a}}+{\vec {b}})=n{\vec {a}}+n{\vec {b}}$
Homogenost: $n(m{\vec {a}})=(nm){\vec {a}}=m(n{\vec {a}})$
Nevtralni element je število 1: $1\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}$

V običajnem trirazsežnem prostoru lahko vektor zapišemo kot:

{\vec {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}

Pri množenju takega vektorja številom $n$ se vse tri koordinate pomnožijo z $n$ :

n{\vec {a}}={\begin{bmatrix}na_{1}\\na_{2}\\na_{3}\end{bmatrix}}

Posplošitve

Računsko operacijo množenje vektorja s skalarjem v matematiki posplošimo tudi na večrazsežne vektorje. Pri množenju takega vektorja številom $n$ se vse koordinate (komponente) pomnožijo z $n$ .

Posplošimo lahko tudi pojem "skalar" oziroma "število": namesto običajnih realnih števil lahko uporabimo na primer kompleksna števila ali tudi elemente kakšnega drugega matematičnega obsega.