Gravitacijska konstanta

Gravitacíjska konstánta je v fiziki izkustvena sorazmernostna konstanta, ki nastopa v Newtonovem splošnem gravitacijskem zakonu:

$F=\kappa {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\!\,,$

v Poissonovi enačbi za gravitacijsko polje:

${\nabla }^{2}\phi =4\pi \kappa \rho \!\,.$

v n-razsežnem Gaussovem gravitacijskem zakonu:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {g} }}=-{\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\kappa _{n}\rho _{n}\!\,,$

pa tudi v Einsteinovi splošni teoriji relativnosti v njegovih enačbah polja:

$G_{\mu \nu }={\frac {8\pi \kappa }{c^{4}}}T_{\mu \nu }\!\,,$

ali na primer v Kretschmannovem skalarju za Schwarzschildovo črno luknjo:

$K={\frac {48\kappa ^{2}m^{2}}{c^{4}r^{6}}}\!\,.$

Navadno se označuje z malo grško črko κ, ponekod z G, G_N, $\varkappa$, redkeje z γ in v novejšem času tudi z ${\mathcal {G}}\$. Imenuje se tudi splôšna gravitacíjska konstánta, Newtonova (gravitacíjska) konstánta in pogovorno velíki G.

Gravitacijska konstanta je ena osnovnih konstant v fiziki. Njena priporočena vrednost (2014, CODATA) je:

$\kappa =\left(6,67408\pm 0,00031\right)\cdot 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}\!\,.$

Morda je gravitacijsko konstanto od vseh konstant najtežje meriti. Med vsemi osnovnimi konstantami je njena vrednost določena najmanj točno, saj so točno določena le prva tri decimalna mesta (6,67), njena relativna standardna merilna negotovost $u_{r}\$ je le 47 ×10⁻⁶. Enako netočna je masa Sonca. Lege planetov so znane veliko točneje in tudi produkt κ in mase Sonca.

Razsežnosti, enote in vrednost

Gravitacijska konstanta igra pomembno vlogo v splošni teoriji relativnosti. Skupaj s Planckovo konstanto h in hitrostjo svetlobe v vakuumu c je možno izvesti sistem enot, znan kot Planckov sistem enot, kjer so vse tri vrednosti konstant enake 1. Z naravnimi enotami iz Planckovega sistema enot je gravitacijska konstanta izražena kot:

$\kappa ^{\rm {P}}={\frac {l_{\rm {P}}^{3}}{m_{\rm {P}}t_{\rm {P}}^{2}}}\!\,,$

kjer je:

• $l_{\rm {P}}\!\,$ – Planckova dolžina,
• $m_{\rm {P}}\!\,$ – Planckova masa,
• $t_{\rm {P}}\!\,$ – Planckov čas.

Gravitacijska sila je v primerjavi z drugimi osnovnimi silami zelo šibka. Med elektronom in protonom na razdalji 1 metra je približno enaka 10⁻⁶⁷ newtonov, ustrezna elektromagnetna sila pa je približno 10⁻²⁸ N. Obe sili sta majhni, če se ju primerja s silami, ki se jih lahko izkusi neposredno, vendar je elektromagnetna sila v tem primeru približno 39 redov velikosti (10³⁹) večja od gravitacijske:

${\frac {\alpha }{\mu \alpha _{\kappa }}}={\frac {\kappa _{\rm {e}}}{\kappa }}{\frac {e_{0}^{2}}{m_{\rm {e}}m_{\rm {p}}}}={\frac {e_{0}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\kappa m_{\rm {e}}m_{\rm {p}}}}\approx 2,269\cdot 10^{39}\,\,,$

kjer je:

• $\alpha \!\,$ – konstanta fine strukture,
• $\alpha _{\kappa }\!\,$ – gravitacijska sklopitvena konstanta,
• $\mu \!\,$ – razmerje mas protona in elektrona,
• $e_{0}\,$ – osnovni naboj,
• $\kappa _{\rm {e}}\!\,$ – Coulombova konstanta,
• $\varepsilon _{0}\,$ – influenčna konstanta,
• $m_{\rm {e}}\!\,$ – masa elektrona,
• $m_{\rm {p}}\!\,$ – masa protona.

To je približno enako razmerju med Sončevo maso in maso mikrograma:

${\frac {m_{\odot }}{10^{-9}}}\approx 1,988\cdot 10^{39}\!\,.$

Zgodovina meritev

Gravitacijsko konstanto je poleg mase Zemlje leta 1798 s torzijsko tehtnico prvi izmeril Henry Cavendish (Cavendishev poskus). Newton je računal še brez znane vrednosti. Cavendisheva vrednost je bila:

$\kappa =\left(6,75\pm 0,05\right)\cdot 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}\!\,\qquad \left[u_{r}\ =7418,40\cdot 10^{-6}\right].$

Cavendisheva torzijska tehtnica

Graf napak s prikazom sodobnih eksperimentalnih vrednosti gravitacijske konstante

Torzijsko tehtnico je neodvisno od de Coulomba izumil Michell okoli leta 1783. Z njo je hotel meriti κ, vendar je leta 1793 umrl. Njegovo pripravo je najprej podedoval Wollaston, nato pa Cavendish, ki jo je zgradil na novo, vendar zelo podobno izvirni Michellovi. Uporabil je vodoravno torzijsko prečko z dvema svinčenima kroglama, katerih vztrajnost (v povezavi s torzijsko konstanto) je lahko določil po računanju časa nihanja prečke. Dejansko ni želel izmeriti gravitacijske konstante, ampak gostoto Zemlje glede na vodo prek točne vrednosti gravitacijske sile.

Točnost izmerjene vrednosti κ se je od izvirnega Cavendishevega poskusa le malo povečala. κ je zelo težko meriti, saj je gravitacija precej šibkejša od drugih osnovnih sil, merilno pripravo pa ni moč osamiti od gravitacijskih vplivov drugih teles. Poleg tega za gravitacijo ni vpeljane povezave z drugimi osnovnimi silami, tako da je ni moč izračunati iz drugih konstant, ki jih lahko izmerijo veliko bolj točno. Objavljene vrednosti κ se precej razlikujejo, nekatera nedavna merjenja z veliko točnostjo pa se celo dejansko izključujejo. Do sedaj so opravili prek 300 meritev z različnimi postopki.

Razpredelnica podaja pregled meritev. Delno povzeto po

$\kappa \!\,$ $\left[\cdot 10^{-11}\ \mathrm {m^{3}\ kg^{-1}\ s^{-2}} \right]\!\,$	$u_{r}\!\,$ $\cdot 10^{-6}\!\,$	čas	avtor	postopek
6,74 ± 0,05	7418,40	1798	Cavendish	torzijska tehtnica
6,63 ± 0,06	9049,77	1838	Reich	torzijska tehtnica
6,485 ± 0,07	10794,14	1843	Baily	torzijska tehtnica
6,63 ± 0,017	2564,10	1878	Cornu, Baille	torzijska tehtnica
6,46 ± 0,11	17027,86	1878	Jolly
6,594 ± 0,015	2274,80	1889	Wilsing
6,6984 ± 0,04	5971,58	1891	Poynting	tehtnica
6,658 ± 0,007	1051,37	1895	Boys	torzijska tehtnica
6,657 ± 0,013	1952,83	1896	Eötvös
6,658 ± 0,002	300,39	1897	Brayn
6,685 ± 0,02	2991,77	1898	Richarz	tehtnica na prečko
6,64 ± 0,04	6024,10	1902	Burgess
6,6721 ± 0,0073	1094,11	1928	Heyl
6,670 ± 0,005	749,63	1930	Heyl
6,66 ± 0,04	6006,01	1933	Zaradnicek
6,673 ± 0,003	449,57	1942	Heyl, Chrzanowski	torzijska tehtnica
6,674 ± 0,004	599,34	1969	Rose idr.
6,6714 ± 0,0006	89,94	1972	Pontikis, Facy	torzijska tehtnica resonančno
6,6720 ± 0,0041		1973	CODATA	priporočeno
6,670 ± 0,008	1199,40	1974	Renner
6,668 ± 0,002	299,94	1975	Karagioz idr.	torzijska tehtnica dinamično
6,6699 ± 0,0014	209,90	1975	Luther idr.
6,57 ± 0,17	25875,19	1976	Koldewyn, Faller
6,6745 ± 0,0008	119,86	1977	Sagitov idr.	torzijska tehtnica dinamično
6,6726 ± 0,0005	74,93	1982	Luther, Towler	torzijsko nihalo
6,6730 ± 0,0005	74,93	1985	Karagioz idr.
6,6722 ± 0,0051	764,37	1986	Dousse, Rheme
6,6730 ± 0,0003	44,96	1986	Karagioz idr.
6,67428 ± 0,00067		1986	CODATA	priporočeno
6,667 ± 0,0007	104,99	1987	Boer idr.
6,6730 ± 0,0005	74,93	1987	Karagioz idr.
6,6728 ± 0,0003	44,96	1988	Karagioz idr.
6,6729 ± 0,0002	29,97	1989	Karagioz idr.
6,65 ± 0,09	13533,83	1989	Saulnier Frisch
6,6730 ± 0,00009	13,49	1990	Karagioz idr.
6,6613 ± 0,0093	1396,12	1991	Schurr idr.
6,6737 ± 0,0051	764,19	1992	Hubler idr.
6,6771 ± 0,0004	59,91	1992	Izmailov idr.
6,71540 ± 0,00008	11,91	1993	Michaelis idr.
6,6698 ± 0,0013	194,91	1993	Hubler idr.
6,6729 ± 0,0002	29,97	1993	Karagioz idr.
6,6719 ± 0,0008	119,91	1994	Walesch idr.	Fabry-Pérotov resonator
6,6746 ± 0,001	149,82	1994	Fitzgerald, Armstrong
6,6607 ± 0,0032	480,43	1994	Hubler idr.
6,6779 ± 0,0063	943,41	1994	Hubler idr.
6,67285 ± 0,00008	11,99	1994	Karagioz idr.
6,6656 ± 0,0009	135,02	1995	Fitzgerald, Armstrong	torzijska tehtnica statično
6,6729 ± 0,0002	29,97	1995	Karagioz idr.
6,66730 ± 0,00094	140,99	1995	Walesch idr.	Fabry-Pérotov resonator
6,71540 ± 0,00056	83,39	1995/96	Michaelis idr.	torzijska tehtnica statično
6,6729 ± 0,0005	74,93	1996	Karagioz idr.	torzijska tehtnica dinamično
6,6740 ± 0,0007	104,88	1997	Bagley, Luther	torzijska tehtnica dinamično
6,6754 ± 0,0014	209,73	1997	Schurr, Nolting idr.
6,6699 ± 0,0007	104,95	1997	Luo idr.
6,6873 ± 0,0094	1405,65	1998	Schwarz idr	prosti pad
6,6749 ± 0,0014	209,74	1998	Nolting idr.	tehtnica na prečko
6,6735 ± 0,0004	59,94	1998	Kleinvoss idr.
6,683 ± 0,011	1645,97	1998	Richman idr.
6,6699 ± 0,0007	104,95	1999	Luo idr.
6,6742 ± 0,0007	104,88	1999	Fitzgerald, Armstrong
6,6830 ± 0,0011	164,60	1999	Richman idr.
6,6754 ± 0,0015	224,71	1999	Schurr, Nolting idr.
6,674215 ± 0,000092	13,78	2000	Gundlach, Merkowitz	torzijska tehtnica dinamično
6,67559 ± 0,00027	40,45	2000	Quinn idr.
6,67407 ± 0,00022	32,96	2002	Kündig	tehtnica na prečko
6,6742 ± 0,001	149,83	2004	CODATA	priporočeno
6,67428 ± 0,00067	100,39	2006	CODATA	priporočeno
6,693 ± 0,027	4034,07	2007	Fixler idr.
6,67349 ± 0,00018	26	2009	Luo idr.
6,67234 ± 0,00014	21	2010	Parks, Faller	laserski interferometer
6,67384 ± 0,00080	120	2010	CODATA	priporočeno
6,67191 ± 0,00099	150	2014	Rosi idr.	rubidijev atomski interferometer
6,67408 ± 0,00031	47	2014	CODATA	priporočeno

Produkt κm

Količina $\kappa m\!\,$, produkt gravitacijske konstante in mase danega astronomskega telesa, kot sta na primer Sonce ali Zemlja, je standardni gravitacijski parameter, označen z $\mu \!\,$. Glede na obravnavano telo se lahko med drugim imenuje tudi geocentrična ali heliocentrična gravitacijska konstanta.

Z njo se poenostavi več enačb povezanih z gravitacijo. Za mnoga nebesna telesa, kot sta Zemlja in Sonce, je vrednost $\kappa m\!\,$ znana veliko točneje kot pa vsak faktor posebej. Mejna točnost, ki je razpoložljiva za $\kappa \!\,$, velikokrat v prvi vrsti omejuje točnost znanstvenega določevanja takšnih mas.

Z Zemljino maso m_⊕ je:

$\mu _{\oplus }=\kappa m_{\oplus }=(398600,4418\pm 0,0008)\ {\mbox{km}}^{3}\ {\mbox{s}}^{-2}\!\,.$

Zaradi netočnosti gravitacijske konstante in mas teles so računi v nebesni mehaniki lahko izvedeni v enotah Sončeve mase namesto standardne osnovne enote SI kg. V ta namen služi Gaussova gravitacijska konstanta:

$k=0,017\ 202\ 098\ 95\ {\mbox{A}}^{3}\ {\mbox{D}}^{-2}{\mbox{S}}^{-1}\!\,,$

kjer je:

• $A\!\,$ – astronomska enota,
• $D\!\,$ – srednji Sončev dan,
• $S\!\,$ – Sončeva masa.

Če se za časovno enoto namesto srednjega Sončevega dne vzame sidersko leto, je vrednost zelo blizu 2π (k = 6,28315).

Standardni gravitacijski parameter $\kappa m\!\,$ se pojavlja v Newtonovem splošnem gravitacijskem zakonu, v enačbah za odklon svetlobnega curka, ki ga povzroča gravitacijsko lečenje, v Keplerjevih zakonih in v enačbi za ubežno hitrost.

Spremenljivost

Po splošni teoriji relativnosti je gravitacijska konstanta res konstanta, saj drugače ne velja zakon o ohranitvi energije. Einsteinov tenzor je brezdivergenten, po zakonu o ohranitvi energije je ničeln tudi $T_{;\mu }^{\mu \nu }\,$.

S privzetkom, da je fizika supernov tipa Ia univerzalna, je analiza opazovanj 580 supernov tipa Ia pokazala, da se je gravitacijska konstanta spreminjala za manj kot en del v 10 milijardah na leto v zadnjih devetih milijardah letih.

Več avtorjev je predlagalo spremenljivost gravitacijske konstante, konstante fine strukture $\alpha \,$ in nekaterih drugih fizikalnih konstant, kot so: hitrost svetlobe v vakuumu $c_{0}\,$, Planckova konstanta $h\,$, osnovni električni naboj $e_{0}\,$, masa elektrona $m_{\rm {e}}\,$, razmerje mas elektrona in protona ali kozmološka konstanta $\Lambda \,$.

Če je gravitacijska konstanta spremenljiva, so spremenljive na primer tudi nekatere naravne enote:

• Planckova dolžina $\ell _{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar \kappa }{c_{0}^{3}}}}\,$
• Planckova masa $m_{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar c_{0}}{\kappa }}}\,$
• Planckov čas $t_{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar \kappa }{c_{0}^{5}}}}={\frac {l_{\rm {p}}}{c_{0}}}\,$

ipd.

Spremenljivost s časom

Najbolj znan je predlog o spremenljivosti gravitacijske konstante s časom. Med prvimi je predlagal spremenljivost gravitacijske konstante s časom Dirac v 1930-ih. Po njegovi domnevi velikih števil je gravitacijska konstanta obratno sorazmerna s starostjo Vesolja:

$\kappa \propto {\frac {1}{t}}\!\,,$

ker se drugače atomski parametri ne morejo spreminjati s časom. Zeldovič je razširil Diracovo domnevo z uvedbo kozmološkega parametra in definiral $\Lambda \,$ kot:

$\vert \Lambda \vert ={\frac {8\pi \kappa ^{2}m_{\rm {p}}^{6}}{h^{4}}}\!\,.$

Pokazal je, da $\Lambda \,$ povzroča enako gravitacijsko polje v vakuumu kot je količina nastale snovi v prostoru, tako da mora biti kozmološki člen vključen v Einsteinove enačbe polja ob prisotnosti običajne snovi.

Zamisel o spremenljivosti gravitacijske konstante se je prvič pojavila v Milnejevem delu nekaj let pred Diracovo domnevo. Milneja niso toliko presenečale slučajnosti velikih števil temveč preprosto ni maral Einsteinove splošne teorije relativnosti. Zanj prostor ni bil struktuirano telo ampak preprosto referenčni sistem v katerem bi se lahko prilagodili Einsteinovi zaključki z zvezami kot je na primer:

$\kappa =\left({\frac {c^{3}}{m_{\rm {V}}}}\right)t\!\,,$

kjer je $m_{\rm {V}}\,$ masa Vesolja, $t\,$ pa starost Vesolja. Po tej zvezi vrednost gravitacijske konstante s časom narašča. Dirac je predlagal tudi zvezo:

$\kappa n_{\rm {J}}\sim t\!\,,$

kjer je $n_{\rm {J}}\,$ število jedr v Vesolju.

Tudi v Brans-Dickeovi teoriji gravitacije se gravitacijska konstanta s širjenjem Vesolja spreminja. Dodatno skalarno polje $\phi \,$ lahko spreminja efektivno gravitacijsko konstanto v prostoru in času obratno sorazmerno:

${\frac {1}{\kappa }}\sim \phi \!\,.$

Spremenljivost glede na snov

Barrow in Scherrer sta predlagala spremenljivost gravitacijske konstante glede na običajno barionsko snov (protoni, nevtroni) ali na svetlobno energijo (fotoni). Če bi za fotone veljala manjša vrednost, bi lahko njun model pojasnil zakaj je bilo v zgodnjem Vesolju manj helija kot ga predvideva teorija. Širjenje zgodnjega Vesolja in njegova energijska gostota naj bi bila odvisna od gravitacijske konstante. V mladem Vesolju je bilo več fotonov kot snovi. Če za fotone velja manjša vrednost gravitacijske konstante, se je prostor širil počasneje, tako da je bilo za tvorbo helija na voljo manj nevtronov. Problem pa je tvorba litija, saj ni odvisna od prostih nevtronov kot pri heliju, tako da je njun predlog vprašljiv. Če bi gravitacija razlikovala med delci, bi bila nepopolna tudi Einsteinova splošna teorija relativnosti. Gravitacijska konstanta naj bi se po nekaterih predlogih razlikovala tudi med fermioni in bozoni, ali za snov in antimaterijo.

Glej tudi

• Diracova domneva velikih števil
• LLR
• kozmološka konstanta
• gravifoton
• G kot razmerje med nabojem in gravitacijo

Viri

• Agnese, A. G.; La Camera, M.; Recami, E. (1999), »Black-body laws derived from a minimum knowledge of Physics«, Il Nuovo Cimento, 114B (1367), arXiv:physics/9907008
• Boys, Charles Vernon (1894), »On the Newtonian constant of gravitation«, Nature, 50 (1292): 330–4, Bibcode:1894Natur..50..330., doi:10.1038/050330a0, pridobljeno 30. decembra 2013
• Cavendish, Henry (1798), »Experiments to determine the density of the Earth«, Phil. Trans., 88: 467
• Dirac, Paul (20. februar 1937), »The Cosmological Constants«, Nature, 139 (3512): 323, Bibcode:1937Natur.139..323D, doi:10.1038/139323a0
• Fixler, J. B.; Foster, G. T.; McGuirk, J. M.; Kasevich, M. A. (5. januar 2007), »Atom Interferometer Measurement of the Newtonian Constant of Gravity«, Science, 315 (5808): 74–77, doi:10.1126/science.1135459, PMID 17204644
• Gamow, George (1967a), »Electricity, Gravity, and Cosmology«, Physical Review Letters, 19 (13): 759, Bibcode:1967PhRvL..19..759G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.759
• Gamow, George (1967b), »Variability of Elementary Charge and Quasistellar Objects«, Physical Review Letters, 19 (16): 913, Bibcode:1967PhRvL..19..913G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.913
• Gillies, George T. (1982), »The Newtonian gravitational constant: an index of measurements« (PDF), Rapport BIPM-82/9
• Gillies, George T. (1997), »The Newtonian gravitational constant: recent measurements and related studies«, Reports on Progress in Physics, 60: 151–225, doi:10.1088/0034-4885/60/2/001, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 13. decembra 2019, pridobljeno 8. junija 2010
• Gundlach, Jens H.; Merkowitz, Stephen M. (2000), »Measurement of Newton's Constant Using a Torsion Balance with Angular Acceleration Feedback« (PDF), Physical Review Letters, 85 (14): 2869, arhivirano iz prvotnega spletišča (pdf) dne 19. aprila 2011, pridobljeno 11. junija 2010
• Gundlach, Jens H.; Merkowitz, Stephen M. (23. december 2002), »University of Washington Big G Measurement«, Astrophysics Science Division, Goddardovo središče za vesoljske polete, Odkar je Cavendish prvi izmeril Newtonovo gravitacijsko konstanto pred 200 leti, »veliki G« ostaja ena od najbolj izmikajočih se konstant v fiziki.
• Kritzer, Robert (3. november 2003), The gravitational constant (PDF) (v angleščini), arhivirano iz prvotnega spletišča (pdf) dne 17. decembra 2008, pridobljeno 11. junija 2010
• Lamporesi, Giacomo (december 2006), Determination of the gravitational constant by atom interferometry (PDF) (v angleščini), arhivirano iz prvotnega spletišča (pdf) dne 24. septembra 2015, pridobljeno 12. junija 2010{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava) Dizertacija (Univerza v Firencah), 5,70 MB
• Luo, Jun; Liu, Qi; Tu, Liang-Cheng; Shao, Cheng-Gang; Liu, Lin-Xia; Yang, Shan-Qing; Li, Qing Li; Zhang, Ya-Ting (2009), »Determination of the Newtonian Gravitational Constant G with Time-of-Swing Method«, Physical Review Letters, 102 (240801), doi:10.1103/PhysRevLett.102.240801
• McKee, Maggie (18. oktober 2014), »Gravity constant called into question«, New Scientist (v angleščini), pridobljeno 5. maja 2015
• Milne, Edward Arthur (1935), Relativity, Gravitation and World Structure, Clarendon Press
• Mould, J.; Uddin, S. A. (10. april 2014), »Constraining a Possible Variation of G with Type Ia Supernovae«, Publications of the Astronomical Society of Australia, 31: e015, arXiv:1402.1534, Bibcode:2014PASA...31...15M, doi:10.1017/pasa.2014.9
• Parks, Harold V.; Faller, James E. (2010), »A Simple Pendulum Determination of the Gravitational Constant«, Physical Review Letters, 105 (110801), arXiv:1008.3203, doi:10.1103/PhysRevLett.105.110801
• Poynting, John Henry (1892), »On a Determination of the Mean Density of the Earth and the Gravitation Constant by means of the Common Balance«, Phil. Trans. A, 182: 565–656
• Ray, Saibal; Mukhopadhyay, Utpal; Partha Pratim, Ghosh (13. maj 2007), Large Number Hypothesis, arXiv:0705.1836
• Rosi, G.; Sorrentino, F.; Cacciapuoti, L.; Prevedelli, M.; Tino, G. M. (26. junij 2014), »Precision measurement of the Newtonian gravitational constant using cold atoms«, Nature, 510: 518–521, doi:10.1038/nature13433
• Rosi, G.; Cacciapuoti, L.; Sorrentino, F.; Prevedelli, M.; Tino, G. M. (5. januar 2015), »Measurement of the Gravity-Field Curvature by Atom Interferometry«, Physical Review Letters, 114 (013001), arXiv:1501.01500, doi:10.1103/PhysRevLett.114.013001
• Scherrer, Robert J. (30. marec 2009), Time variation of a fundamental dimensionless constant, arXiv:0903.5321
• Schumacher, Achim (Avgust 1999), Systematische Untersuchungen zur Messung der Newtonschen Gravitationskonstanten mit einem Pendelresonator (PDF) (v nemščini), arhivirano iz prvotnega spletišča (pdf) dne 10. julija 2007, pridobljeno 18. novembra 2009 Dizertacija (Univerza v Wuppertalu), 3,89 MB

Zunanje povezave

• The Controversy over Newton's Gravitational Constant Arhivirano 2010-01-10 na Wayback Machine. — dodatni komentar o problemih pri meritvah (angleško)

• http://milesmathis.com/g4.pdf - G kot razmerje med gravitacijo in nabojem (angl.)