Odvod

Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.

Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Diferenciacija in izpeljava

$m={{\mbox{sprememba v }}y \over {\mbox{sprememba v }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}$

Definicija z diferenčnim količnikom

Naj bo $y=f(x)$ funkcija $x$-a.

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zveznost in odvedljivost

Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.

Zapisovanje odvoda

Leibnizev zapis

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}.$

Višje odvode zapišemo kot

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}$

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapis

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

${\dot {y}}$

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvoda

Pravila za sestavljanje funkcij

• odvod vsote/razlike:

$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,$

• odvod produkta:

$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,$

• odvod količnika:

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\!\,$

• odvod kompozituma:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,$

Odvodi elementarnih funkcij

• odvod konstante: če je g(x) = c (konstanta), potem

$g'(x)=0\,\!$

• odvod potence: če je $f(x)=x^{r}\,$, kjer je r realno število, potem

$f'(x)=rx^{r-1}\,$,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi $f'(x)=(1/2)x^{-1/2}\,$ in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

• odvod eksponentne funkcije:
  • Naravna eksponentna funkcija $f(x)=e^{x}\,\!$ se pri odvajanju ne spremeni: $f'(x)=e^{x}\,\!$.
  • V splošnem pa je odvod funkcije $f(x)=a^{x}\,\!$ enak $f'(x)=a^{x}\ln a\,\!$.

• odvod logaritemske funkcije:
  • Naravna logaritemska funkcija $f(x)=\ln x\,\!$ ima odvod $f'(x)={\frac {1}{x}}$.
  • V splošnem je odvod logaritemske funkcije $f(x)=\log _{a}x\,\!$ enak $f'(x)={\frac {1}{x\ln a}}$.

Odvodi trigonometrijskih funkcij

$(\sin x)'=\cos x\!$

$(\cos x)'=-\sin x\!$

$(\sin 2x)'=2\cos 2x\!$

$(\cos 2x)'=-2\sin 2x\!$

$(\sin(nx))'=n\cos(nx)\!$

$(\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\!$

$(\cos ^{2}x)'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\!$

$(\sin ^{n}x)'=n\sin ^{(n-1)}x\cos x\!$

$(\cos ^{n}x)'=-n\sin x\cos ^{(n-1)}x\!$

$(\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}};\;\cos x\neq 0$

$(\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};\;\sin x\neq 0$

$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Odvodi drugih funkcij:

$(k)'=0$(k)' je konstanta

$(e^{x})'=e^{x}$

$(\ln |x|)'={\frac {1}{x}}$

$(a^{x})'=a^{x}\ln a$

Odvajanje v višjih razsežnostih

Smerni odvod

Naj bo $n$ skalarno polje in ${\vec {b}}$ neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja ${\vec {b}}$.

Ogledamo si izraz

$\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+hb_{1},y+hb_{2},z+hb_{3})-u(x,y,z)}{h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}$

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri ${\vec {b}}$

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}{\frac {{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}{\frac {{\mbox{d}}z}{{\mbox{d}}h}}\,\!$

Sledi

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}b_{1}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}b_{2}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}b_{3}$

pri čemer je ${\vec {b}}$ enotski vektor.

Torej

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u(b_{1},b_{2},b_{3})={\mbox{grad}}\,u{\vec {b}},\qquad {\vec {b}}$ enotski

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u\cdot {\vec {b}}$

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

$J={\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v}&x_{w}\\y_{u}&y_{v}&y_{w}\\z_{u}&z_{v}&z_{w}\end{vmatrix}}$

Glej tudi

• integral

Zunanje povezave

• http://www.e-studij.si/Odvod Arhivirano 2007-09-28 na Wayback Machine.
• WIMS Function Calculator makes online calculation of derivatives; this software also enables interactive exercises.
• ADIFF online symbolic derivatives calculator.