Seznam Liejevih grup

Seznam Liejevih grup vsebuje nekatere Liejeve grupe in z njimi povezane Liejeve algebre.

Realne Liejeve grupe in njihove algebre

Legenda

CM: Je grupa G kompaktna? (Da-D ali ne-N)
$\pi _{0}$ : Nam prikazuje grupe komponent za G. Red komponent grup nam da število povezanih komponent. Grupa je povezana, če in samo, je grupa komponent trivialna (označena z 0).
$\pi _{1}$ : Nam prikazuje osnovno grupo za G, kadarkoli je G povezana grupa. Ta grupa je enostavno povezana, če in samo, če je osnovna grupa trivialna (označena z 0).
UC: Kadar G ni enostavno povezana grupa, nam da univerzalno pokritje za G.

Liejeva grupa	opis	CM	$\pi _{0}$	$\pi _{1}$	UC	opomba	Liejeva algebra	razsež./R
Rⁿ	evklidski prostor s seštevanjem	N	0	0		abelova	Rⁿ	n
R^×	neničelna realna števila z množenjem	N	Z₂	–		abelova	R	1
R⁺	pozitivna realna števila z množenjem	N	0	0		abelova	R	1
S¹ = U(1)	krožna grupa: kompleksna števila z absolutno vrednostjo 1, z množenjem;	D	0	Z	R	abelova, izomorfna za SO(2), Spin(2) in R/Z	R	1
Aff(1)	obrnljiva afine transformacije iz R v R.	N	Z₂	0		rešljiva, polneposredni produkt za R⁺ in R^×	$\left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&0\end{smallmatrix}}\right]:a,b\in \mathbb {R} \right\}$	2
H^×	neničelni kvaternioni z množenjem	N	0	0			H	4
S³ = Sp(1)	kvaternioni z absolutno vrednostjo 1, z množenjem; topološko 3-sfera	D	0	0		izomorfno z SU(2) in Spin(3); dvojno pokritje za SO(3)	Im(H)	3
GL(n,R)	splošna linearna grupa: obratna n×n realna matrike	N	Z₂	–			M(n,R)	n²
GL⁺(n,R)	n×n realne matrike s pozitivno determinanto	N	0	Z n=2 Z₂ n>2		GL⁺(1,R) je izomorfen z R⁺ in je enostavno povezan	M(n,R)	n²
SL(n,R)	specialna linearna grupa: realne matrike z determinanto 1	N	0	Z n=2 Z₂ n>2		SL(1,R) ena točka in zato kompaktna in enostavno povezana	sl(n,R)	n²−1
SL(2,R)	Izometrije z ohranitvijo orientacije za Poincaréjeva polravnina, izomorfna z SU(1,1) ter izomorfna z Sp(2,R).	N	0	Z		univerzalno pokritje nima končno razsežnih predstavitev.	sl(2,R)	3
O(n)	ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike	D	Z₂	–		simetrijska grupa sfere (n=3) ali hipersfere.	so(n)	n(n−1)/2
SO(n)	specialna ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike z determinanto 1	D	0	Z n=2 Z₂ n>2	Spin(n) n>2	SO(1) je samo ena točka in SO(2) je izomorfna s krožno grupo, SO(3) je krožna grupa sfere.	so(n)	n(n−1)/2
Spin(n)	spinska grupa: dvojno pokrivanje za SO(n)	D	0 n>1	0 n>2		Spin(1) je izomorfen z Z₂ in ni povezan; Spin(2) je izomorfen s krožno grupo in ni enostavno povezan	so(n)	n(n−1)/2
Sp(2n,R)	simplektična grupa: realne simplektične matrike	N	0	Z			sp(2n,R)	n(2n+1)
Sp(n)	kompaktna simplektična grupa: kvaternionskih n×n unitarnih matrik	D	0	0			sp(n)	n(2n+1)
U(n)	unitarna grupa: kompleksnih n×n unitarnih matrik	D	0	Z	R×SU(n)	Za n=1: je izomorfna z S¹. Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra	u(n)	n²
SU(n)	specialna unitarna grupa: kompleksna n×n unitarne matrike z determinanto 1	D	0	0		Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra	su(n)	n²−1

Realne Liejeve algebre

Legenda:

S: Je algebra enostavna? (Da-D ali ne_N)
SS: Je algebra polenostavna? (Da-D ali ne-N)

Liejeva algebra	opis	S	SS	opombe	razsež./R
R	realna števila, Liejev oklepaj je nič				1
Rⁿ	Liejev oklepaj je nič				n
H	kvaternioni z Liejevim oklepajem kot komutatorjem				4
Im(H)	kvaternioni z ničelnim realnim delom in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem, izomorfni z realnimi 3-vektorji, z Liejevim oklepajem vektorskega produkta, je tudi izomorfna z su(2) in so(3,R)	D	D		3
M(n,R)	n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem				n²
sl(n,R)	kvadratne matrike s sldjo 0 in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem				n²−1
so(n)	poševnosimetrične kvadratne realne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem.	D	D	Izjema: so(4) je polpreprosta, toda ni preprosta.	n(n−1)/2
sp(2n,R)	realne matrike, ki zadoščajo JA + A^TJ = 0 kjer je J običajna poševnosimetrična matrika	D	D		n(2n+1)
sp(n)	kvadratne kvaternionske matrike A, ki zadoščajo A = −A^*, in Liejevim oklepajem kot komutatorjem	D	D		n(2n+1)
u(n)	kvadratne kompleksne matrike A, ki zadoščajo A = −A^* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem				n²
su(n) n≥2	kvadratne kompleksne matrike A s sledjo 0, ki zadoščajo A = −A^* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem	D	D		n²−1

Kompleksne Liejeve grupe in njihove algebre

Vpisana razsežnost je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo groupo/algebro lahko gledamo kot realno Liejevo groupo/algebro z dvakratno razsežnostjo.

Liejeva grupa	opis	CM	$\pi _{0}$	$\pi _{1}$	UC	opombe	Liejeva algebra	razsež./C
Cⁿ	grupna operacija je seštevanje	N	0	0		abelova	Cⁿ	n
C^×	neničelna kompleksna števila z množenjem	N	0	Z		abelova	C	1
GL(n,C)	splošna linearna grupa: obrnljiva n×n kompleksne matrike	N	0	Z		Zan=1: izomorfne z C^×	M(n,C)	n²
SL(n,C)	specialna linearna grupa: kompleksne matrike z determinanto 1	N	0	0		za n=1 je to samo ena točka in je zato kompaktna.	sl(n,C)	n²−1
SL(2,C)	posebni primer SL(n,C) za n=2	N	0	0		izomorfna s Spin(3,C), izomorfna s Sp(2,C)	sl(2,C)	3
PSL(2,C)	projektivna specialna linearna grupa	N	0	Z₂	SL(2,C)	izomorfna z Möbiusovo grupo, izomorfna z omejeno Lorenzevo grupo SO⁺(3,1,R), izomorfna z SO(3,C).	sl(2,C)	3
O(n,C)	ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike	N	Z₂	–		kompakten za n=1	so(n,C)	n(n−1)/2
SO(n,C)	specialna ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike z determinanto 1	N	0	Z n=2 Z₂ n>2		SO(2,C) je abelova in izomorfna s C^×; neabelova za n>2. SO(1,C) je samo ena točka in zatokompaktnain enostavno povezana	so(n,C)	n(n−1)/2
Sp(2n,C)	simplektična grupa: kompleksne simplektične matrike	N	0	0			sp(2n,C)	n(2n+1)

Kompleksne Liejeve algebre

Razsežnost, ki je podana, je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo algebro lahko gledamo kot realno Liejevo algebro z dvakratno razsežnostjo.

Liejeva algebra	opis	S	SS	opombe	razsež./C
C	kompleksna števila				1
Cⁿ	Liejev oklepaj je nič				n
M(n,C)	n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem				n²
sl(n,C)	kvadratne matrike s trace 0, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem	D	D		n²−1
sl(2,C)	posebni primer sl(n,C) z n=2	D	D	izomorfna z su(2) $\otimes$ C	3
so(n,C)	antisimetrične kvadratne kompleksne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem	D	D	Izjema: so(4,C) je polenostavna, vendar ni enostavna.	n(n−1)/2
sp(2n,C)	kompleksne matrike, ki zadoščajo JA + A^TJ = 0, kjer je J običajna poševnosimetrična matrika	D	D		n(2n+1)