Tavtohrona krivulja

Štiri točke se gibljejo po cikloidi s pričetkom v različnih legah. Na dno prispejo istočasno. Modre puščice prikazujejo pospeške vzdolž krivulje. Na vrhu je graf, ki prikazuje lege točk v različnih časih.

Tavtohrona krivulja (tudi izohrona krivulja) iz starogrške besede starogrško ταὐτό: tavto, kar pomeni isti in besede starogrško χρόνος: chrono, kar pomeni čas oziroma iz besede iso, kar pomeni enak) je krivulja po kateri bi se moralo gibati telo (ki se ga je brez začetne hitrosti spustilo), da bi brez trenja v enakomerni težnosti prišlo v najnižjo točko neodvisno od začetne točke. Krivulja, ki zadošča tem zahtevam, je cikloida.

Problem tavtohronosti

Problem tavtohronosti išče obliko krivulje po kateri bi se moralo gibati telo, da bi prišlo do najnižje točke v skladu z definicijo tavtohrone krivulje.

Problem je prvi rešil nizozemski astronom, fizik in matematik Christiaan Huygens (1629 – 1695) v letu 1650. Ugotovil je, da je oblika krivulje enaka cikloidi (samo eni veji).

Problem tavtohronosti so pričeli intenzivneje proučevati, ko so ugotovili, da nihalo, ki niha po krožni poti, ni izohrono. To pomeni, da bo ura na nihalo kazala različne čase v odvisnosti od tega kako daleč nihalo zaniha.

Cikloidno nihalo.

Pozneje sta matematika Joseph-Louis de Lagrange (1736 – 1813) in Leonhard Euler (1707 – 1783) podala analitično rešitev problema.

Lagrangeeva rešitev

Če bi se parametriziralo lego delca z dolžino loka $s(t)\,$ od najnižje točke, je kinetična energija sorazmerna $\scriptstyle {\dot {s}}^{2}\,$. Potencialna energija pa je sorazmerna z $y(s)\,$. Da bi se dobilo izohrono krivuljo, mora biti lagranžijan enak lagranžijanu za preprosti harmonični oscilator. Višina krivulje mora biti enaka kvadratu dolžine loka. To se lahko zapiše kot:

$y(s)=s^{2}\!\,.$

Sorazmernostno konstanto se lahko postavi na 1, če se prilagodi enoto za dolžino. Diferencialna oblika je:

$\mathrm {d} y=2s\,\mathrm {d} s\!\,,$

$\mathrm {d} y^{2}=4s^{2}\,\mathrm {d} s^{2}=4y\,(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2})\!\,.$

Če se eliminira $s\,$, se dobi diferencialno enačbo:

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {\sqrt {1-4y}}{2{\sqrt {y}}}}\!\,$.

Da se dobi rešitev, je treba integrirati, kar da:

$x=\int {\sqrt {1-4u^{2}}}\,\mathrm {d} u\!\,,$

kjer se je označilo $\scriptstyle u={\sqrt {y}}\,$.

To se lahko piše kot:

$x={\frac {1}{2}}u{\sqrt {1-4u^{2}}}+{\frac {1}{4}}\sin ^{-1}(2u)\!\,,$

$y=u^{2}\!\,.$

Lahko se dokaže, da je to na nenavaden način parametrizirana oblika enačbe cikloide.

Glej tudi

• brahistrokrona

Viri

• Tavzes, Miloš, ur. (2002), Veliki slovar tujk, Ljubljana: Cankarjeva založba, COBISS 121003520, ISBN 961-231-271-0

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Tautochrone Problem«. MathWorld.
• Tavtohrona krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)