Tridiagonalna matrika

Tridiagonalna matrika (tudi Jacobijeva matrika) je matrika, ki ima neničelne elemente na glavni diagonali, nad njo in pod njo.

Med tridiagonalne matrike prištevamo tudi Hessenbergovo matriko. Tridiagonalna matrika spada med redke matrike.

Primer

Splošna oblika tridiagonalne matrike je

$T={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&0&\dots &0\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\ddots &\vdots \\0&a_{3,2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{n-1,n}\\0&\dots &0&a_{n,n-1}&a_{n,n}\end{pmatrix}}$

Primer ene izmed tridiagonalne matrike:

${\begin{pmatrix}1&4&0&0\\3&4&1&0\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{pmatrix}}.$

Lastnosti

• Determinanta tridiagonalne matrike $A\,$ se izračuna s rekurzivnim obrazcem za kontinuante

$\det A=a_{n,n}\det \,[A]_{\{1,\ldots ,n-1\}}-a_{n,n-1}a_{n-1,n}\det \,[A]_{\{1,\ldots ,n-2\}}\,,\,$

kjer je

• • $\det[A]_{\{1,\ldots ,k\}}\,$ k-ta glavna poddeterminanta (minor) podmatrike, ki jo dobimo, po brisanju prvih k vrstic in stolpcev matrike $A\,$
  • $n\,$ je razsežnost matrike

• Splošna oblika tridiagonalne matrike ni nujno simetrična ali hermitska

• sistem linearnih enačb oblike $Ax=F\,$, kjer je $A\,$ tridiagonalna matrika, se rešuje s pomočjo Thomasovega algoritma (je poenostavljena oblika Gaussove eliminacijske metode)

• množica tridiagonalnih matrik $n\times n\,$ tvori vektorski prostor z dimenzijo $2n-1\,$

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Tridiagonalna matrika na MathWorld (angleško)
• Tridiagonalna matrika (angleško)
• Splošna tridiagonalna matrika (angleško)
• Tridiagonalni linearni sistemi (angleško)