Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Von Staudt-Clausenov izrek je v teoriji števil izrek o ulomljenem delu Bernoullijevih števil . Če k Bernoullijevemu številu B n prištejemo 1/p za vsako takšno praštevilo p , da
p
−
1
{\displaystyle p-1}
deli n , dobimo celo število .
Izrek omogoča zapis imenovalcev neničelnih Bernoullijevih števil B n kot produkt vseh takšnih praštevil p , da
p
−
1
{\displaystyle p-1}
deli n . Zaradi tega so imenovalci deljivi brez kvadrata in deljivi s 6 .
Izrek sta neodvisno odkrila Karl von Staudt (1798–1867) in Thomas Clausen (1801–1885) leta 1840 . Izrek je odkril tudi Ramanudžan .[1]
Von Staudt-Clausenova formula je dana z[2] :
(
−
1
)
n
B
2
n
≡
∑
p
∈
P
(
p
−
1
)
|
2
n
1
p
(
mod
1
)
;
n
>
0
,
{\displaystyle (-1)^{n}B_{2n}\equiv \sum _{p\in \mathbb {P} \atop (p-1)|2n}{\frac {1}{p}}{\pmod {1}};\quad n>0\!\,,}
oziroma z[1] :
B
2
n
=
A
n
−
∑
p
∈
P
(
p
−
1
)
|
2
n
1
p
;
n
>
0
,
{\displaystyle B_{2n}=A_{n}-\sum _{p\in \mathbb {P} \atop (p-1)|2n}{\frac {1}{p}};\quad n>0\!\,,}
kjer je
A
n
{\displaystyle A_{n}}
celo število (OEIS A000146 ).
Za prvih nekaj neničelnih Bernoullijevih števil je vsota enaka:
B
2
=
1
−
1
/
2
−
1
/
3
=
1
/
6
,
{\displaystyle B_{2}=1-1/2-1/3=1/6\!\,,}
B
4
=
1
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
5
=
−
1
/
30
,
{\displaystyle B_{4}=1-1/2-1/3-1/5=-1/30\!\,,}
B
6
=
1
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
7
=
1
/
42
,
{\displaystyle B_{6}=1-1/2-1/3-1/7=1/42\!\,,}
B
8
=
1
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
5
=
−
1
/
30
,
{\displaystyle B_{8}=1-1/2-1/3-1/5=-1/30\!\,,}
B
10
=
1
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
11
=
5
/
66
,
{\displaystyle B_{10}=1-1/2-1/3-1/11=5/66\!\,,}
B
12
=
1
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
5
−
1
/
7
−
1
/
13
=
−
691
/
2730
,
{\displaystyle B_{12}=1-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13=-691/2730\!\,,}
B
14
=
2
−
1
/
2
−
1
/
3
=
7
/
6
,
{\displaystyle B_{14}=2-1/2-1/3=7/6\!\,,}
B
16
=
−
6
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
5
−
1
/
7
−
1
/
13
=
−
3617
/
510
,
{\displaystyle B_{16}=-6-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13=-3617/510\!\,,}
B
18
=
56
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
5
−
1
/
11
=
43867
/
798
,
{\displaystyle B_{18}=56-1/2-1/3-1/5-1/11=43867/798\!\,,}
B
20
=
−
528
−
1
/
2
−
1
/
3
−
1
/
5
−
1
/
11
=
−
174611
/
330
.
{\displaystyle B_{20}=-528-1/2-1/3-1/5-1/11=-174611/330\!\,.}
Praštevila, ki nastopajo v imenovalcih, tvorijo zaporedje (OEIS A080092 ):
2, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 7, 2, 3, 5, 2, 3, 11, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, 2, 3, 5, 17, 2, 3, 7, 19, 2, 3, 5, 11, 2, 3, 23, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, ...