Carlemanova matrika

Carlemanova matrika je matrika, ki se uporablja za pretvorbo kompozituma funkcij v množenje matrik. Druga področja uporabe so še v teoriji iteracij in verjetnosti ter v Markovskih verigah.

Definicija

Calermanova matrika funkcije $f(x)\,$ je določena z

$M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}$

pri tem pa velja

$(f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.$

Tako lahko zapišemo določanje funkcije $f(x)\,$ kot

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}.$,

kar pa je skalarni produkt prve vrstice matrike $M[f]$ z vektorjem $\left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }$.

Množenje z drugo vrstico matrike $M[f]$ nam da drugo potenco funkcije $f(x)\,$

$f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}.$.

Lahko pa določimo tudi ničelno potenco funkcije $f(x)\,$. V matriki $M[f]$ predpostavimo, da vrstica 0 vsebuje ničle povsod, razen na prvem mestu. To nam da

$f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0*x^{k}$

Skalarni produkt matrike $M[f]$ z vektorjem $\left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }$ nam da vektor

$M[f]*\left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }=\left[1,f(x),(f(x))^{2},(f(x))^{3},...\right]^{\tau }\,$.

Bellova matrika

Bellova matrika funkcije $f(x)\,$ je določena kot

$B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}$

pri tem pa velja

$(f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}$

To pa pomeni, da je Bellova matrika transponirana Carlemanova matrika.

Primeri

Carlemanova matrika konstante je:

$M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Carlemanova matrika identične funkcije je:

$M_{x}[x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Carlemanova matrika dodane konstante je:

$M_{x}[a+x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Carlemanova matrika zmnožka s konstanto je:

$M_{x}[cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Carlemanova matrika linearne funkcije je:

$M_{x}[a+cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Carlemanova matrika funkcije $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}$ je:

$M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Carlemanova matrika funkcije $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}$ je:

$M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$.

Lastnosti matrike

Obe matriki (Carlemanova in Bellova) zadoščata osnovnima odnosoma:

• $M[f\circ g]=M[f]M[g]$
• $B[f\circ g]=B[g]B[f]$

kar dela Carlemanovo matriko $M\,$ kot neposredno predstavitev funkcije $f(x)\,$ in Bellovo matriko $B\,$ kot nasprotno predstavitev funkcije $f(x)$. V zgornjih izrazih pomeni $f\circ g$ kompozitum funkcij $f(g(x))$.

Razen tega veljata še naslednji lastnosti:

• $\,M[f^{n}]=M[f]^{n}$

kjer je

$\,f^{n}$ iteracija funkcije

• $\,M[f^{-1}]=M[f]^{-1}$

kjer je

$\,f^{-1}$ inverzna funkcija (če je Calermanova matrika obrnljiva).