Enôtski véktor [ 1] :291 (tudi enôtni véktor [ 2] :605 [ 3] :101 [ 4] :47 ali véktorska enôta [ 2] [ 3] normiranem vektorskem prostoru je v matematiki vektor (po navadi evklidski vektor ) z dolžino (modulom[ 2] 1 (enoto dolžine ):
‖
e
‖
≡
‖
e
→
‖
≡
‖
e
^
‖
≡
|
e
^
|
=
d
e
f
1
.
{\displaystyle \|\mathbf {e} \|\equiv \|{\vec {\mathbf {e} }}\|\equiv \|\mathbf {\hat {e}} \|\equiv |\mathbf {\hat {e}} |\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 1\!\,.}
Enotski vektor se velikokrat označuje z malo črko s strešico , na primer kot
e
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }
Velikost produkta enotskega vektorja s skalarjem c je vedno pozitivna (oziroma nenegativna ) in je enaka:
‖
c
e
^
‖
=
‖
e
^
c
‖
=
|
c
|
‖
e
^
‖
=
|
c
|
.
{\displaystyle \|c\,\mathbf {\hat {e}} \|=\|\mathbf {\hat {e}} \,c\|=|c|\|\mathbf {\hat {e}} \|=|c|\!\,.}
Tu je
|
c
|
{\displaystyle |c|\!\,}
absolutna vrednost c . Posebej je seveda:
‖
0
e
^
‖
=
0
.
{\displaystyle \|0\,\mathbf {\hat {e}} \|=0\!\,.}
V evklidskem prostoru je skalarni produkt dveh enotskih vektorjev
e
^
1
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}
e
^
2
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}}
kosinus kota med njima. To sledi iz enačbe za skalarni produkt, saj sta njuni dolžini enaki 1:
e
^
1
⋅
e
^
2
=
‖
e
^
1
‖
‖
e
^
2
‖
cos
φ
=
cos
φ
;
(
‖
e
^
1
‖
=
‖
e
^
2
‖
=
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{2}=\|\mathbf {\hat {e}} _{1}\|\|\mathbf {\hat {e}} _{2}\|\cos \varphi =\cos \varphi ;\quad (\|\mathbf {\hat {e}} _{1}\|=\|\mathbf {\hat {e}} _{2}\|=1)\!\,.}
Posebej je skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj:
e
^
⋅
e
^
=
‖
e
^
‖
‖
e
^
‖
cos
φ
=
1
;
(
φ
=
0
∘
)
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} \cdot \mathbf {\hat {e}} =\|\mathbf {\hat {e}} \|\|\mathbf {\hat {e}} \|\cos \varphi =1;\quad (\varphi =0^{\circ })\!\,,}
dveh pravokotnih enotskih vektorjev:
e
^
1
⋅
e
^
2
=
‖
e
^
1
‖
‖
e
^
2
‖
cos
φ
=
0
;
(
e
^
1
⊥
e
^
2
∧
φ
=
90
∘
)
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{2}=\|\mathbf {\hat {e}} _{1}\|\|\mathbf {\hat {e}} _{2}\|\cos \varphi =0;\quad (\mathbf {\hat {e}} _{1}\perp \mathbf {\hat {e}} _{2}\wedge \varphi =90^{\circ })\!\,,}
ali ničelnega in enotskega vektorja:
0
→
⋅
e
^
=
‖
0
→
‖
‖
e
^
‖
cos
φ
=
0
.
{\displaystyle {\vec {\mathbf {0} }}\cdot \mathbf {\hat {e}} =\|{\vec {\mathbf {0} }}\|\|\mathbf {\hat {e}} \|\cos \varphi =0\!\,.}
Pri tem tudi kot
φ
{\displaystyle \varphi }
Vsak neničelni vektor
u
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}}
u
→
=
‖
u
→
‖
⋅
e
^
,
{\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}=\|{\vec {\mathbf {u} }}\|\cdot \mathbf {\hat {e}} \!\,,}
tako da je normalizírani véktor (versor ali enôtski véktor sméri véktorja [ 2]
u
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }
u
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}}
u
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}}
u
→
0
≡
u
→
0
≡
u
^
=
1
‖
u
→
‖
⋅
u
→
=
u
→
‖
u
→
‖
=
u
→
u
;
‖
u
→
‖
≠
0
∨
u
→
≠
0
→
,
{\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}^{0}\equiv {\vec {\mathbf {u} }}_{0}\equiv \mathbf {\hat {u}} ={\frac {1}{\|{\vec {\mathbf {u} }}\|}}\cdot {\vec {\mathbf {u} }}={\frac {\vec {\mathbf {u} }}{\|{\vec {\mathbf {u} }}\|}}={\frac {\vec {\mathbf {u} }}{u}};\qquad \|{\vec {\mathbf {u} }}\|\neq 0\!\,\vee {\vec {\mathbf {u} }}\neq {\vec {\mathbf {0} }},}
kjer je
‖
u
→
‖
{\displaystyle \|{\vec {\mathbf {u} }}\|}
u
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}}
0
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {0} }}}
Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi baze . Vsak vektor v prostoru se lahko zapiše kot linearna kombinacija enotskih vektorjev. Kot baze se največkrat srečajo kartezične , polarne , valjne (cilindrične ) in krogelne (sferne ) koordinate. Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na simetrijo koordinatnega sistema .
V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se včasih enotski vektorji, katerih smer je enaka z osmi
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
i
^
=
(
1
,
0
,
0
)
,
j
^
=
(
0
,
1
,
0
)
,
k
^
=
(
0
,
0
,
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} =(1,0,0),\,\,\mathbf {\hat {j}} =(0,1,0),\,\,\mathbf {\hat {k}} =(0,0,1)\,\,,}
ali zapisane v stolpcih:
i
^
=
[
1
0
0
]
,
j
^
=
[
0
1
0
]
,
k
^
=
[
0
0
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}\,\,.}
Včasih veljajo za versorje koordinatnega sistema in tvorijo množico medsebojno ortogonalnih enotskih vektorjev, ki v linearni algebri predstavljajo zgled standardne baze .
Običajno se jih označuje z normalnim vektorskim zapisom (kot
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
i
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {i} }}}
i
→
{\displaystyle {\vec {i}}}
i
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} \,}
i
^
{\displaystyle {\hat {i}}\,}
ı
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {\imath }} \,}
i
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {i} }}}
j
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {j} }}}
k
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}
i
→
,
j
→
{\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}}}
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
(
x
^
,
y
^
,
z
^
)
{\displaystyle (\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )}
(
x
^
1
,
x
^
2
,
x
^
3
)
{\displaystyle (\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})}
(
e
^
x
,
e
^
y
,
e
^
z
)
{\displaystyle (\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})}
(
e
^
1
,
e
^
2
,
e
^
3
)
{\displaystyle (\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})}
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
indekse
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,j,k}
Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev
i
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {i} }}}
j
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {j} }}}
k
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}
smerni kosinusi «. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način se lahko opiše usmerjenost (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali odsek usmerjene osi.
Enotski vektorji, primerni za valjno (cilindrično ) simetrijo, so:
s
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {s}} }
r
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }
ρ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}
ϕ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
φ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
x
{\displaystyle x}
z
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }
S kartezično bazo
x
^
,
y
^
,
z
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }
s
^
=
cos
ϕ
x
^
+
sin
ϕ
y
^
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {s}} =\cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \phi \mathbf {\hat {y}} \!\,,}
ϕ
^
=
−
sin
ϕ
x
^
+
cos
ϕ
y
^
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}=-\sin \phi \mathbf {\hat {x}} +\cos \phi \mathbf {\hat {y}} \!\,,}
z
^
=
z
^
.
{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} \!\,.}
Treba je omeniti, da sta
s
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {s}} }
ϕ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
ϕ
{\displaystyle \phi \!\,}
Jacobijeva matrika in determinanta . Odvodi po
ϕ
{\displaystyle \phi \,\,}
∂
s
^
∂
ϕ
=
−
sin
ϕ
x
^
+
cos
ϕ
y
^
=
ϕ
^
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {s}} }{\partial \phi }}=-\sin \phi \mathbf {\hat {x}} +\cos \phi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\phi }}}\!\,,}
∂
ϕ
^
∂
ϕ
=
−
cos
ϕ
x
^
−
sin
ϕ
y
^
=
−
s
^
,
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}{\partial \phi }}=-\cos \phi \mathbf {\hat {x}} -\sin \phi \mathbf {\hat {y}} =-\mathbf {\hat {s}} \!\,,}
∂
z
^
∂
ϕ
=
0
→
.
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \phi }}={\vec {\mathbf {0} }}\!\,.}
Enotski vektorji, primerni za krogelno (sferno ) simetrijo, so:
r
^
{\displaystyle \mathrm {\hat {r}} }
ϕ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
x -y , merjen v nasprotni smeri od urinih kazalcev od pozitivne osi x , in
θ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}
z .Da je degeneracija čim manjša, je polarni kot običajno
0
≤
θ
≤
180
∘
{\displaystyle 0\leq \theta \leq 180^{\circ }}
ϕ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
θ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}
[ 5]
ϕ
{\displaystyle \phi \!\,}
r
^
=
sin
θ
cos
ϕ
x
^
+
sin
θ
sin
ϕ
y
^
+
cos
θ
z
^
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \phi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} \!\,,}
θ
^
=
cos
θ
cos
ϕ
x
^
+
cos
θ
sin
ϕ
y
^
−
sin
θ
z
^
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \phi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} \!\,,}
ϕ
^
=
−
sin
ϕ
x
^
+
cos
ϕ
y
^
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}=-\sin \phi \mathbf {\hat {x}} +\cos \phi \mathbf {\hat {y}} \!\,.}
Krogelni enotski vektorji so odvisni tako od
ϕ
{\displaystyle \phi \!\,}
θ
{\displaystyle \theta \!\,}
∂
r
^
∂
ϕ
=
−
sin
θ
sin
ϕ
x
^
+
sin
θ
cos
ϕ
y
^
=
sin
θ
ϕ
^
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \phi }}=-\sin \theta \sin \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\!\,,}
∂
r
^
∂
θ
=
cos
θ
cos
ϕ
x
^
+
cos
θ
sin
ϕ
y
^
−
sin
θ
z
^
=
θ
^
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \phi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}\!\,,}
∂
θ
^
∂
ϕ
=
−
cos
θ
sin
ϕ
x
^
+
cos
θ
cos
ϕ
y
^
=
cos
θ
ϕ
^
,
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \phi }}=-\cos \theta \sin \phi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \phi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\!\,,}
∂
θ
^
∂
θ
=
−
sin
θ
cos
ϕ
x
^
−
sin
θ
sin
ϕ
y
^
−
cos
θ
z
^
=
−
r
^
,
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \phi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} \!\,,}
∂
ϕ
^
∂
ϕ
=
−
cos
ϕ
x
^
−
sin
ϕ
y
^
=
−
cos
θ
θ
^
−
sin
θ
r
^
,
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}{\partial \phi }}=-\cos \phi \mathbf {\hat {x}} -\sin \phi \mathbf {\hat {y}} =-\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} \!\,,}
∂
ϕ
^
∂
θ
=
0
→
.
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}{\partial \theta }}={\vec {\mathbf {0} }}\!\,.}
Običajne splošne teme o enotskih vektorjih se pojavljajo v fiziki in geometriji :[ 6]
enotski vektor
označbe
prikaz
Tangentni vektor na krivuljo /tokovnico
t
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {t}} \,\!}
Normalni vektor
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,\!}
ravnino , ki vsebuje in jo določata krajevni vektor lege
r
r
^
{\displaystyle r\mathbf {\hat {r}} \,\!}
vrtenja
θ
θ
^
{\displaystyle \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\,\!}
gibanja veljajo.
Normalen na ploskev tangentne ravnine/ravnine, ki vsebuje komponento krajevne lege in kotno tangentno komponento
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,\!}
V izrazih polarnih koordinat ;
n
^
=
r
^
×
θ
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\,\!}
Binormalni vektor na tangento in normalo
b
^
=
t
^
×
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}} \,\!}
[ 7]
Vzporeden na kakšno os /premico
e
^
∥
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!}
En enotski vektor
e
^
∥
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!}
e
^
⊥
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!}
Pravokoten na kakšno os/premico v poljubni radialni smeri
e
^
⊥
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!}
Možen kotni odklon relativno na kakšno os/premico
e
^
∠
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!}
Enotski vektor pod ostrim odklonskim kotom φ (vključno s kotoma 0 ali π /2 rad) relativno na glavno smer.
V splošnem se lahko opiše koordinatni sistem s pomočjo linearno neodvisnih enotskih vektorjev
e
^
n
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}
prostostni stopnji prostora. Za običajni trirazsežni prostor se jih lahko označi kot
e
^
1
,
e
^
2
,
e
^
3
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}
ortonormalen in desnosučen :
e
^
i
⋅
e
^
j
=
δ
i
j
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}\!\,,}
e
^
i
⋅
(
e
^
j
×
e
^
k
)
=
ε
i
j
k
=
|
1
0
0
0
1
0
0
0
1
|
=
1
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=1\!\,,}
pri čemer je
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
Kroneckerjeva delta in
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}\,}
Levi-Civitajev simbol .
↑ Stöcker (2006) , str. 291.↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Bronštejn; Semendjajev (1978) , str. 605.↑ 3,0 3,1 Vidav (1978) , str. 101.↑ Kuščer; Kodre (2006) , str. 47.↑ Dray; Manogue (2003) .↑ Ayres; Mandelson (2009) .↑ Spiegel; Lipschutz; Spellman (2009) .
Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5. izd.), Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 Ayres, F.; Mandelson, E. (2009), Calculus (Schaum's Outlines Series) (5. izd.), Mc Graw Hill, ISBN 978-0-07-150861-2 Bronštejn, Ilja Nikolajevič ; Semendjajev, Konstantin Adolfovič (1978), Matematični priročnik COBISS 205107 , 5. ponatisDray, Tevian ; Manogue, Corinne Alison (2003), »Conventions for spherical coordinates« (PDF) , College Math Journal 34 : 168–169, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF ) dne 4. marca 2016, pridobljeno 9. maja 2015 Griffiths, David J. (1998), Introduction to Electrodynamics (3. izd.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X Kuščer, Ivan ; Kodre, Alojz (2006), Matematika v fiziki in tehniki , Ljubljana: DMFA Založništvo, COBISS 230034944 , ISBN 978-961-212-033-7 ISBN 961-212-033-1 Spiegel, Murray R. (1998), Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2. izd.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-038203-4 Spiegel, Murray R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009), Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2. izd.), Mc Graw Hill, ISBN 978-0-07-161545-7 Stöcker, Horst (2006), Matematični priročnik z osnovami računalništva , Ljubljana: Tehniška založba Slovenije , COBISS 229576192 , ISBN 86-365-0587-9 Vidav, Ivan (1978), Višja matematika I. (6. izd.), Ljubljana: DMFA , COBISS 4787712
