Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Hessova matrika (oznaka
) (tudi hesian) je kvadratna matrika, ki jo sestavljajo drugi parcialni odvodi neke funkcije.
Imenuje se po nemškem matematiku Ludwigu Ottu Hesseju (1811 – 1874), ki jo je raziskoval v 19. stoletju. Pozneje so jo poimenovali po njem.
Za realno funkcijo
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c701c4e65fd6b62da604d4651e79fa33f38b52a)
za katero obstajajo parcialni odvodi je Hessova matrika enaka
![{\displaystyle H(f)_{ij}(x)=D_{i}D_{j}f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f160aedce23effbbae0db02410eb7ed29dfefd89)
kjer je
![{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f8500b3da160d5506c0929f1bad1e11bdad759)
operator odvajanja
Hessova matrika je tako
![{\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaef7236e12036663f03abcdd5034be7ccf2775b)
Jacobijeva matrika gradienta funkcije
je enaka Hessovi matriki, kar lahko napišemo kot
.
V Hessovi matriki mešani odvodi funkcije
ležijo zunaj glavne diagonale. Ker pa zaporedje odvajanja ni pomembno, lahko zapišemo tudi
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a403600682f019376833a3fbada121b511f9f61d)
oziroma
.
To pomeni, da je v primerih, ko je
zvezna v okolici točke
Hessova matrika simetrična.
Če je gradient funkcije
v neki točki
enak 0, potem tej točki pravimo kritična ali stacionarna točka. Determinanta Hessove matrike se v tem primeru imenuje diskriminanta.
Omejena Hessova matrika se uporablja v nekaterih optimizacijskih problemih.
Naj bo dana funkcija
,
dodamo ji omejitveno funkcijo
.
V tem primeru dobimo za Hessovo matriko
.