Okolica (matematika)

Množica V je okolica tokče p, ker odprta množica (krog okoli p) v celoti leži v V

Množica V ni okolica tokče p, ker nobena odprta množica (krog) okoli p ne leži v celoti v V

Okólica je eden od osnovnih pojmov matematične topologije. Intuitivni pomen je razviden že iz besede same: okolica točke p je množica vseh točk, ki so v nekem smislu blizu točke p.

Definicija

Natančna definicija pojma okolica je odvisna od topološke zgradbe prostora, ki ga opazujemo. V vsakem topološkem prostoru obstaja družina množic, ki jim pravimo odprte množice (tej družini pravimo topologija prostora). Množica V je okolica točke p, če obstaja vsaj ena odprta množica, ki vsebuje točko P in v celoti leži v množici V.

Okolice v metričnem prostoru

V metričnem prostoru je definirana metrika (razdalja) med poljubnima dvema točkama. To nam omogoča, da v metričnem prostoru definiramo sistem bazičnih okolic dane točke p:

Za poljuben pozitiven ε obstaja ε-okolica (beri: epsilonska okolica), ki jo označimo

${\mathcal {O}}_{\varepsilon }(p)=\{x;d(x,p)<\varepsilon \}$

To pomeni, da je ε-okolica točke p množica vseh točk, ki so od p oddaljene za manj kot ε. Vse tako definirane okolice točke p (za različne vrednosti ε) skupaj sestavljajo sistem bazičnih okolic. Vsaka druga okolica točke p mora vsebovati vsaj eno bazično okolico te točke.

Najpreprostejši zgled za metriko je kar običajna razdalja, ki jo imenujemo tudi evklidska metrika. Če tako razdaljo uporabimo v ravnini, je bazična okolica točke p kar odprt krog (tj. krog brez roba) okoli točke p. Analogno je v prostoru bazična okolica odprta krogla okoli točke p. Če isti princip uporabimo na premici, ugotovimo, da je ε-okolica točke p odprta daljica oziroma odprti interval (p − ε,p + ε).

Glej tudi

• odprta množica
• topologija prostora