Kroneckerjev produkt

Kroneckerjev produkt (oznaka $\,\otimes \,$) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta se ne sme zamenjevati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823–1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija

Naj bo $A\,$ matrika z razsežnostjo $m\times n\,$ in naj bo $B\,$ z razsežnostjo $p\times q\,$, potem je Kroneckerjev produkt $A\otimes B\,$ bločna matrika z razsežnostjo $mp\times nq\,$:

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.$.

Bolj točno je to enako:

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}$.

Če sta $A\,$ in $B\,$ linearni transformaciji $V_{1}\to W_{1}\,$ in $V_{2}\to W_{2}\,$, potem je $A\otimes B\,$ tenzorski produkt dveh preslikav $V_{1}\otimes W_{2}\to W_{1}\otimes W_{2}\,$.

Zgledi

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}&2\cdot {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}\\\\3\cdot {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}&4\cdot {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&6&10&12\\7&8&14&16\\15&18&20&24\\21&24&28&32\end{bmatrix}}$.

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}&3\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}&2\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}&0\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}&0\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}&2\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}&2\cdot {\begin{bmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot 7&4\cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}$.

Značilnosti

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta:

• $\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,$
• $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} +\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ,$
• $(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),$
• $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} =\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),$.

kjer je

• • $A\,$ matrika
  • $B\,$ matrika
  • $C\,$ matrika
  • $k\,$ skalar

Komutativnost

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki $A\otimes B\,$ in $B\otimes A\,$ različni. To se zapiše kot :$A\otimes B\neq B\otimes A$. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstajata dve matriki $P\,$ in $Q\,$ tako, da je:

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =\mathbf {P} \,(\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} )\,\mathbf {Q} \,$.

Č e pa sta matriki $A\,$ in $B\,$ kvadratni, potem sta $A\otimes B\,$ ali pa $B\otimes A\,$ permutacijsko podobni, kar pomeni, da je $P=Q^{T}\,$.

Mešani produkt

Če so matrike $A\,$, $B\,$, $C\,$ in $D\,$ takšne, da se lahko določi $AC\,$ in $BD\,$, potem velja tudi:

$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {AC} \otimes \mathbf {BD}$.

Transponiranje

Transponiranje Kroneckerjevega produkta da:

$(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}$.

Druge značilnosti

• konjugiranje komplesne matrike da:

${\overline {A\otimes B}}={\overline {A}}\otimes {\overline {B}}$.

• adjungirana matrika je enaka:

$(A\otimes B)^{*}=A^{*}\otimes B^{*}$

• sled je za kvadratne matrike enaka:

$\mathrm {sl} (A\otimes B)=\mathrm {sl} (A)\cdot \mathrm {sl} (B)$

• za rang velja:

$\mathrm {rank} (A\otimes B)=\mathrm {rank} (A)\cdot \mathrm {rank} (B)$

• če ima matrika $A\,$ razsežnost $n\times n\,$ in matrika $B\,$ razsežnost $m\times m\,$, potem za determinanto velja:

$\det(A\otimes B)={\det }^{m}(A)\,{\det }^{n}(B)$

• če so $(\lambda _{i})_{i=1..n}\,$ lastne vrednosti matrike $A\,$ in $(\mu _{j})_{j=1..m}\,$ lastne vrednosti matrike $B\,$, potem so:

$(\lambda _{i}\,\mu _{j})_{i=1..n \atop j=1..m}$ lastne vrednosti matrike $A\otimes B$

• kadar sta matriki $A\,$ in $B\,$ obrnljivi velja tudi:

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$

• kadar imajo matrike $A,B,C\,$ in $D\,$ razsežnosti:
  • $A:m\times n\,$
  • $B:p\times q\,$
  • $C:n\times r\,$
  • $D:q\times s\,$

in sta matriki $AC\,$ in $BD\,$ definirani, potem velja

$AC\otimes BD=>(A\otimes B)(C\otimes D)$

Viri

• Steeb, Willi-Hans (1991), Kronecker Product of Matrices and Applications, Mannheim ; Wien ; Zürich: BI-Wiss.Verlag, ISBN 3-411-14811-X

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Kronecker Product«. MathWorld.
• Kroneckerjev produkt na MathWorld (angleško)
• Kroneckerjev produkt (angleško)
• Kroneckerjev produkt na PlanethMath Arhivirano 2010-06-21 na Wayback Machine. (angleško)