Adjungirana matrika

Adjungirana matrika (tudi prirejena matrika) (oznaka $\operatorname {adj} (A)\!\,$ ali $A^{*}\!\,$, tudi $A^{\dagger }\!\,$ in $A^{H}\!\,$) se za matriko $A\!\,$ izračuna tako, da:

• se določi poddeterminante, ki se jih označi z $M_{ij}\!\,$
• se določi kofaktorje $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\!\,$ oziroma matriko kofaktorjev $C\!\,$
• se dobljeno matriko kofaktorjev transponira

S tem se dobi adjungirano matriko matrike $A\!\,$:

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}\!\,.$

To pomeni, da je adjugirana matrika matrike $A\!\,$ z elementi $(i,j)\!\,$ matrika kofaktorjev z elementi $(j,i)\!\,$ (pozor: zaporedje indeksov je obrnjeno):

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )_{ij}=\mathbf {C} _{ji}\!\,.$

Adjungirana matrika igra podobno vlogo kot obratna matrika, vendar pri določanju te matrike ni potrebno deljenje.

Zgledi

Splošna matrika $2\times 2\!\,$

Naj je splošna matrika $2\times 2\!\,$:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}\!\,.$

Njena adjungirana matrika je:

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}\!\,.$

Matrika $3\times 3\!\,$

Naj je matrika $A\!\,$ z razsežnostjo $3\times 3\!\,$:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\!\,.$

Matrika kofaktorjev:

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}\!\,.$

Adjungirano matriko se dobi tako, da se zgornjo matriko transponira:

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}\!\,,$

kjer je:

$\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)\!\,.$

Numerična matrika $3\times 3\!\,$

Za zgled numerične matrike se vzame:

$\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&18&\!-4\\\!-5&\!12&-1\\\ 4&\!-6&\!2\end{pmatrix}}\!\,.$

Značilnosti

Adjunginane matrike imajo naslednje značilnosti:

• adjungirana matrika enotske matrike je enotska matrika:

$\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} \!\,$,

• adjungirana matrika zmnožka matrik je enak zmnožku adjungiranih matrik:

$\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\!\,$,

za vse matrike $A\!\,$ in $B\!\,$, ki imajo razsežnost $n\times n\!\,$,

• adjungiranje ohranja transponiranje:

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{T}\!\,$,

• če je $\operatorname {A} \!\,$ nesingularna matrika, potem velja tudi:

$\det {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}\!\,.$

Adjugiranje se pojavlja tudi v obrazcih za odvod determinante.

Zunanje povezave

• Značilnosti matrik (angleško)