Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Logaritemsko normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.
oznaka
log
−
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle \log -{\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})}
parametri
σ
2
>
0
{\displaystyle \sigma ^{2}>0\!}
μ
ϵ
R
{\displaystyle \mu {\boldsymbol {\epsilon }}R\!}
parameter lokacije
interval
x
ϵ
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x{\boldsymbol {\epsilon }}(0,\infty )\!}
funkcija gostote verjetnosti
1
x
2
π
σ
2
exp
[
−
(
ln
x
−
μ
)
2
2
σ
2
]
{\displaystyle {\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}\exp \!\left[-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}
zbirna funkcija verjetnosti
1
2
+
1
2
e
r
f
[
ln
x
−
μ
2
σ
2
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}{\Big ]}}
pričakovana vrednost
e
μ
+
σ
2
/
2
{\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
mediana
e
μ
{\displaystyle e^{\mu }\,}
modus
e
μ
−
σ
2
{\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}
varianca
(
e
σ
2
−
1
)
e
2
μ
+
σ
2
{\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}
simetrija
(
e
σ
2
+
2
)
e
σ
2
−
1
{\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}
sploščenost
e
4
σ
2
+
2
e
3
σ
2
+
3
e
2
σ
2
−
3
{\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-3}
entropija
1
2
+
1
2
ln
(
2
π
σ
2
)
+
μ
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }
funkcija generiranja momentov (določena je samo za negativne vrednosti na intervalu
(
0
,
−
∞
]
{\displaystyle (0,-\infty ]\!}
karakteristična funkcija lahko uporabljamo obrazec
∑
n
=
0
∞
(
i
t
)
n
n
!
e
n
μ
+
n
2
σ
2
/
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}
asimptotično divergenten ,
Logaritemska normalna porazdelitev (tudi lognormalna porazdelitev ali Galtonova porazdelitev ) je družina dvoparametričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev slučajne spremenljivke , katere logaritem je normalno porazdeljen .
Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev je
f
X
(
x
;
μ
,
σ
)
=
1
x
σ
2
π
e
−
(
ln
x
−
μ
)
2
2
σ
2
,
x
>
0
{\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\ \ x>0}
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
F
X
(
x
;
μ
,
σ
)
=
1
2
erfc
[
−
ln
x
−
μ
σ
2
]
{\displaystyle F_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]\!}
kjer je
erfc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\!}
funkcija napake .Pričakovana vrednost je enaka
e
μ
+
σ
2
/
2
{\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
Varianca je enaka
(
e
σ
2
−
1
)
e
2
μ
+
σ
2
{\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}
Sploščenost je
e
4
σ
2
+
2
e
3
σ
2
+
3
e
2
σ
2
−
3
{\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-3}
Koeficient simetrije je enak
(
e
σ
2
+
2
)
e
σ
2
−
1
{\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}
Funkcija generiranja momentov je določena je samo za negativne vrednosti na intervalu
(
0
,
−
∞
]
{\displaystyle (0,-\infty ]\!}
Za karakteristično funkcijo lahko uporabimo obrazec
∑
n
=
0
∞
(
i
t
)
n
n
!
e
n
μ
+
n
2
σ
2
/
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}
asimptotično divergenten , toda je uporaben za izračunavanje..
Če je slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
exp
(
X
)
∼
l
o
g
-
N
(
μ
,
σ
2
)
.
{\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2}).}
Če ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
l
o
g
-
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})}
ln
(
X
)
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
Če so
X
j
∼
l
o
g
-
N
(
μ
j
,
σ
j
2
)
{\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}
Y
=
∏
j
=
1
n
X
j
{\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}}
X
{\displaystyle X\!}
Y
∼
l
o
g
-
N
(
∑
j
=
1
n
μ
j
,
∑
j
=
1
n
σ
j
2
)
.
{\displaystyle Y\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}
Če je slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
l
o
g
-
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})}
X
+
c
{\displaystyle X+c\!}
premaknjeno logaritemsko normalno porazdelitev . Kadar ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
l
o
g
-
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})}
Y
=
Y
.
a
{\displaystyle Y=Y.a\!}
Y
∼
l
o
g
-
N
(
ln
a
+
μ
,
σ
2
)
.
{\displaystyle Y\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\ln a+\mu ,\ \sigma ^{2}).}
Kadar ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
l
o
g
-
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})}
Y
=
1
/
X
{\displaystyle Y=1/X\!}
Y
∼
l
o
g
-
N
(
−
μ
,
σ
2
)
.
{\displaystyle Y\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).}
![{\displaystyle {\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}\exp \!\left[-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67697b0f35dd6be7b7b1e6473b889921f9c2c882)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d747c5763f0298187694473fed624e12060abede)
![{\displaystyle (0,-\infty ]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4f14dba7993c97ad662f3be74de7947a71aaca)
![{\displaystyle F_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1eb9d94008cd062e7f08937b3a39981da36058f)
