Midyjev izrek

Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike a/p, kjer je p praštevilo, ulomek a/p pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo. Imenuje se po francoskem matematiku E. Midyju. Če je perioda desetiškega razvoja ulomka a/p v intervalu (0,1) enaka 2n, velja $a=1$ in:

${\frac {1}{p}}=0,{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}\!\,,$

števke v drugi polovici ponavljajoče desetiške periode pa so komplementarne glede na 9 z odgovarjajočimi števkami v prvi polovici, oziroma:

$a_{i}+a_{i+n}=9\!\,,$

$a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1\!\,.$

Ta značilnost se imenuje tudi Midyjeva značilnost ali značilnost devetic. Vodilne ničle v nizih zanemarjamo.

Na primer:

${\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}{\text{ in }}142+857=999\!\,,$

${\frac {1}{11}}=0,{\overline {09}}{\text{ in }}0+9=9\!\,,$

${\frac {1}{13}}=0,{\overline {076923}}{\text{ in }}076+923=999\!\,,$

${\frac {1}{17}}=0,{\overline {0588235294117647}}{\text{ in }}05882352+94117647=99999999\!\,.$

Prva najmanjša praštevila za katera velja Midyjev izrek so (OEIS A028416):

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 73, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 193, 197, 211, ...

Midyjev izrek za nekatera sestavljena števila

Midyjev izrek velja tudi za nekatere potence praštevil in za sestavljena števila m, deljiva z $10^{p}+1$. Na primer:

${\begin{aligned}{\frac {1}{7^{2}}}&={\frac {1}{49}}=0,{\overline {020408163265306122448979591836734693877551}}\\&{\text{ in }}020408163265306122448+979591836734693877551=999999999999999999999\!\,,\end{aligned}}$

${\frac {1}{11^{2}}}={\frac {1}{121}}=0,{\overline {0082644628099173553719}}{\text{ in }}00826446280+99173553719=99999999999\!\,,$

Na primer $10^{3}+1=7\cdot 11\cdot 13=1001$ imajo poleg praštevil 7, 11 in 13 Midyjevo značilnost tudi njihovi produkti 77, 91, 143 in 1001:

${\frac {1}{77}}=0,{\overline {012987}}{\text{ in }}12+987=999\!\,,$

${\frac {1}{91}}=0,{\overline {010989}}{\text{ in }}10+989=999\!\,,$

${\frac {1}{143}}=0,{\overline {006993}}{\text{ in }}6+993=999\!\,.$

Midyjev izrek velja tudi za nekatera sestavljena števila, ki so mnogokratniki praštevil s sodimi dolžinami period:

14, 22, 26, 28, 34, 35, 38, 44, 46, 52, 55, 56, 58, 65, 68, 70, 76, 85, 88, 92, 94, 95, 98, ...

ne velja pa za mnogokokratnike, kot so:

21, 33, 39, 42, 51, 57, 63, 66, 69, 78, 84, 87, 99, 102, ...

Prva najmanjša števila za katera velja Midyjev izrek so tako (OEIS A187040):

7, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 34, 35, 38, 44, 46, 47, 49, 52, 55, 56, 58, 59, 61, 65, 68, 70, 73, 76, 77, 85, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, ...

Razširjeni Midyjev izrek

Če je k delitelj dolžine sode periode ulomka a/p (p praštevilo), razširjeni Midyjev izrek pravi, da je vsota nizov po k števk enaka mnogokratniku $10^{k}-1$. Poleg tega velja tudi, če je k enak 2 ali 3, je vsota nizov točno enaka $10^{k}-1$.

Na primer:

${\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}\!\,,$

Če razdelimo niz periode na dele z 2 ali 1 števko, dobimo:

$14+28+57=99\quad (\equiv 0{\pmod {10^{2}-1}})\!\,$

$1+4+2+8+5+7=27=3\cdot 9\quad (\equiv 0{\pmod {10^{1}-1}})\!\,.$

${\frac {1}{17}}=0,{\overline {0588235294117647}}\!\,.$

Če razdelimo niz periode (dolžina periode je 17-1=16) na dele s 4, 2 ali 1 števko, dobimo

$0588+2352+9411+7647=1998=2\cdot 9999\quad (\equiv 0{\pmod {10^{4}-1}})\!\,$

$05+88+23+52+94+11+76+47=396=4\cdot 99\quad (\equiv 0{\pmod {10^{2}-1}})\!\,$

$0+5+8+8+2+3+5+2+9+4+1+1+7+6+4+7=72=8\cdot 9\quad (\equiv 0{\pmod {10^{1}-1}})\!\,.$

${\frac {1}{19}}=0,{\overline {052631578947368421}}\!\,,$

kjer je dolžina periode enaka 19-1=18. Če razdelimo niz periode na dele s 6, 3, 2 ali 1 števko, dobimo:

$052631+578947+368421=999999\quad (\equiv 0{\pmod {10^{6}-1}})\!\,$

$052+631+578+947+368+421=2997=3\cdot 999\quad (\equiv 0{\pmod {10^{3}-1}})\!\,$

$05+26+31+57+89+47+36+84+21=396=4\cdot 99\quad (\equiv 0{\pmod {10^{2}-1}})\!\,$

$0+5+2+6+3+1+5+7+8+9+4+7+3+6+8+4+2+1=81=9\cdot 9\quad (\equiv 0{\pmod {10^{1}-1}})\!\,.$

Midyjev izrek za druge osnove

Midyjev izrek in njegova razširitev nista odvisna od posebnih značilnosti desetiškega razvoja, tako da veljata v poljubni osnovi b, kjer 10^k − 1 nadomesti b^k − 1, seštevanje pa poteka v osnovi b. Na primer osmiško:

${\frac {1}{19}}=0,{\overline {032745}}_{8}\!$

$032_{8}+745_{8}=777_{8}\!\,$

$03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}\!\,.$

Dokaz Midyjevega izreka

Midyjev izrek se lahko dokaže s prijemi teorije grup, pa tudi z elementarno algebro in modularno aritmetiko.

Naj je p praštevilo, a/p pa ulomek med 0 in 1. Predpostavimo, da ima perioda v razvoju ulomka a/p v osnovi b dolžino ℓ, kar da:

${\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=[0,{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0,{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}$

kjer je N celo število, katerega razvoj v osnovi b je niz a₁a₂...a_ℓ.

b ^ℓ − 1 je mnogokratnik p, ker je(b ^ℓ − 1)a/p celo število. Poleg tega bⁿ−1 ni mnogokratnik p za katerokoli vrednost n manjšo od ℓ, saj bi bila potem dolžina ponavljajoče se periode ulomka a/p v osnovi b manjša od ℓ.

Naj je sedaj ℓ = hk. Potem je b ^ℓ − 1 mnogokratnik b^k − 1. Naj je b ^ℓ − 1 = m(b^k − 1), tako, da velja:

${\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}\!\,.$

b ^ℓ − 1 je mnogokratnik p; b^k − 1 ni mnogokratnik p (ker je k manj kot ℓ ); p pa je praštevilo, zato mora biti m mnogokratnik p,

${\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}\!\,$

pa je celo število. Tako je:

$N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}\!\,.$

Sedaj razdelimo niz a₁a₂...a_ℓ na h enakih delov dolžine k, in ti naj predstavljajo cela števila N₀...N_h − 1 v osnovi b, tako, da je:

${\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}$

Za dokaz razširjenega Midyjevega izreka v osnovi b moramo pokazati, da je vsota h celih števil N_i mnogokratnik b^k − 1.

Ker je b^k kongruentno 1 modulo b^k − 1, bo tudi vsaka potenca b^k kongruentna 1 modulo b^k − 1. Zato:

$N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}$

$\Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}$

$\Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}\!\,,$

kar dokazuje razširjeni Midyjev izrek v osnovi b.

Za dokaz izvirnega Midyjevega izreka vzamemo posebni primer, kjer je h = 2. N₀ in N₁ sta oba predstavljena z nizoma s k števkami v osnovi b, tako da za oba velja:

$0\leq N_{i}\leq b^{k}-1\!\,.$

N₀ in N₁ ne moreta bita oba enaka 0 (saj bi bilo a/p = 0), in ne moreta biti oba enaka b^k − 1 (ker bi bilo a/p = 1), tako da je:

$0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)\!\,,$

in, ker je N₀ + N₁ mnogokratnik od b^k − 1, sledi, da je:

$N_{0}+N_{1}=b^{k}-1\!\,.$

Viri

• Abdul-Baki, Bassam (12. julij 2005). »Extended Midy's Theorem« (PDF).

• García-Pulgarín, Gilberto; Giraldo, Hernán (2009). »Characterizations of Midy's property« (PDF). Integers. Zv. 9. str. 191–197.

• Gil, Juan B.; Weiner, Michael D. (2006). »On cyclic numbers and an extension of Midy's theorem«. . {{navedi revijo}}: Sklic magazine potrebuje|magazine= (pomoč)

• Gupta, Ankit; Sury, B. (2005). »Decimal expansion of 1/p and subgroup sums« (PDF). Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. Zv. 5, št. # A19. Arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 12. oktobra 2016. Pridobljeno 24. februarja 2011.

• Leavitt, William G. (Junij–julij 1967). »A Theorem on Repeating Decimals«. American Mathematical Monthly. Zv. 74, št. 6. str. 669–673.

• Lewittes, Joseph (2007). »Midy's theorem for periodic decimals« (PDF). Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. Zv. 7, št. #A02.

• Martin, Harold W. (2007). »Generalizations of Midy's theorem on repeating decimals« (PDF). Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. Zv. 7, št. #A03.

• Midy, E. (1836). De Quelques Propri´et´es des Nombres et des Fractions D´ecimales P´eriodiques. Nantes. str. 21.

• Rademacher, Hans Adolph; Toeplitz, Otto (1957). The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press. str. 158–160.