Poissonova porazdelitev

Poissonova porazdelitev
Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev Na abscisni osi (vodoravna) so vrednosti k. Funkcija je določena samo za cela števila k. Povezovalne črte samo pomagajo pri predstavi poteka funkcije.
Zbirna funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev Na abscisni osi (vodoravna) so vrednosti k. Funkcija je nezvezna za cela števila k in ravna povsod drugod.
oznaka	$Pois(\lambda )\!$
parametri	$\lambda \in (0,\infty )$
interval	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
funkcija verjetnosti (pdf)	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!$ za $k\geq 0$ ali $e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$
pričakovana vrednost	$\lambda \,\!$
mediana	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
modus	$\lfloor \lambda \rfloor$ in $\lambda -1\!$ , če je $\lambda$ celo število
varianca	$\lambda \,\!$
simetrija	$\lambda ^{-1/2}\,$
sploščenost	$\lambda ^{-1}\,$
entropija	$\lambda [1\!-\!\log(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ oziroma za velike $\lambda$ ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-$ ${\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O({\frac {1}{\lambda ^{4}}})$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\exp(\lambda (e^{t}-1))\,$
karakteristična funkcija	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Poissonova porazdelítev [poasónova ~] je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki je podobna binomski porazdelitvi. V Poissonovi porazdelitvi opazujemo verjetnost, da se pojavi določeno število dogodkov v nekem časovnem obdobju, če se ti dogodki pojavljajo z znano pogostostjo in neodvisno od časa, ki je potekel od zadnjega dogodka (pri binomski porazdelitvi pa obravnavamo število uspehov v n ponovitvah poskusa). Lahko rečemo, da se dogodek zgodi zelo redko, ima pa veliko možnosti, da se zgodi.

Poissonova porazdelitev nam služi kot model za število redkih dogodkov, ki se pojavljajo v mnogih ponavljanjih. To pomeni, da je n zelo velik in p zelo majhen, produkt np pa ima neko sprejemljivo, oziroma razumno vrednost (zgled je promet, kjer je izredno veliko možnosti za nesrečo, nesreče pa so relativno redke). To obliko verjetnostne porazdelitve uporabljamo tudi za izračun verjetnosti pojavljanja dogodkov na določeni razdalji, površini ali prostornini (ne samo v časovnem intervalu).

Porazdelitev je uvedel francoski fizik, matematik in geometer Siméon-Denis Poisson (1781 – 1840).

Če je pričakovano število dogodkov v intervalu enako $\lambda \!$ , potem je verjetnost, da se bo zgodilo točno k dogodkov (k =0, 1, 2,…), enaka:

f(k;\lambda )={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\!\,,

kjer je:

$e\;$ osnova naravnih logaritmov
$k\;$ število pojavljanj dogodka
$k!\;$ funkcija fakulteta za število k
$\lambda \;$ pozitivno realno število, ki je enako pričakovanemu številu pojavljanj dogodka v danem intervalu

Kot funkcija spremenljivke k je to funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev. Poissonova porazdelitev se lahko dobi tudi iz binomske porazdelitve.

Značilnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev je:

{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!\,.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti Poissonove porazdelitve je:

{\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!

kadar je

k\geq 0\!\,,

kjer je:

$\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )\!$ funkcija gama.
$\lfloor k+1\rfloor \!$ spodnji celi del števila k + 1

ali

e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka:

\lambda \!\,.

Varianca

Varianca je enaka:

\lambda \!\,.

Povezave z drugimi porazdelitvami

Binomska porazdelitev

Poissonova porazdelitev se lahko kot mejni primer dobi iz binomske porazdelitve, če gre število poskusov preko vseh mej, in ostane število pričakovanih uspehov nespremenjeno. To pomeni, da je Poissonova porazdelitev aproksimacija binomske porazdelitve, če je n dovolj velik in verjetnost p dovolj majhna.

Torej lahko za slučajno sprememnljivko X zapišemo:

X\sim {\textrm {B}}(n,p)\,\!.

Kadar pa je n zelo velik in p majhen (np pa ima neko sprejemljivo vrednost). V tem primeru lahko vzamemo, da je slučajna spremenljivka X porazdeljena po Poissonovi porazdelitvi:

X\sim {\textrm {Pois}}(np)\,\!.

Vsak izmed Bernoullijevih dogodkov se zgodi zelo redko. To včasih imenujemo tudi kot zakon redkih dogodkov. Izraz je malo zavajajoč, ker skupno število uspehov ni majhno (produkt np ni majhen, zgled: število nesreč v prometu ni majhno).

Skellamova porazdelitev

Če je $X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,$ in $X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,$ , potem se razlika $Y=X_{1}-X_{2}$ podreja Skellamovi porazdelitvi.