Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Rayleighjeva porazdelitev
Zbirna funkcija verjetnosti za Rayleighjevo porazdelitev.
oznaka
R
a
y
l
e
i
g
h
(
σ
)
{\displaystyle Rayleigh(\sigma )\!}
parametri
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0\,}
interval
x
∈
[
0
;
∞
)
{\displaystyle x\in [0;\infty )}
funkcija gostote verjetnosti
x
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
σ
2
{\displaystyle {\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}}
zbirna funkcija verjetnosti
1
−
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
{\displaystyle 1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
pričakovana vrednost
σ
π
2
{\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}
mediana
σ
ln
(
4
)
{\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,}
modus
σ
{\displaystyle \sigma \,}
varianca
4
−
π
2
σ
2
{\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}
simetrija
2
π
(
π
−
3
)
(
4
−
π
)
3
/
2
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}
sploščenost
−
6
π
2
−
24
π
+
16
(
4
−
π
)
2
{\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}
entropija
1
+
ln
(
σ
2
)
+
γ
2
{\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}
funkcija generiranja momentov
1
+
σ
t
e
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erf
(
σ
t
2
)
+
1
)
{\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}
karakteristična funkcija
1
−
σ
t
e
−
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erfi
(
σ
t
2
)
−
i
)
{\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}
Rayleighjeva porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev . Imenuje se po angleškem fiziku lordu Rayleighu (1842 – 1919).
Rayleighjevo porazdelitev ima hitrost vetra kadar komponente dvodimenzionalnega vektorja hitrosti nimajo korelacije in imajo enake variance .Pogosto se zaradi tega uporablja pri modeliranju na vetrnih elektrarnah. oceanografiji [ 1]
Funkcija gostote verjetnosti za Rayleighjevo porazdelitev je
x
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
σ
2
{\displaystyle {\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}}
Funkcija ima največjo vrednost pri
f
m
a
x
=
f
(
σ
;
σ
)
=
1
σ
exp
−
1
2
≈
0
,
606
σ
{\displaystyle f_{max}=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}\exp {-{\frac {1}{2}}}\approx {\frac {0,606}{\sigma }}}
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
1
−
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
{\displaystyle 1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
Pričakovana vrednost je enaka
σ
π
2
≈
1
,
253
σ
{\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1,253\sigma }
Varianca je enaka
4
−
π
2
σ
2
≈
0
,
429
σ
2
.
{\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}\ \approx 0,429\sigma ^{2}.}
Modus je enak
σ
!
{\displaystyle \sigma \ !}
Sploščenost je enaka
γ
2
=
−
6
π
2
−
24
π
+
16
(
4
−
π
)
2
≈
−
0
,
245.
{\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx -0,245.}
Koeficient simetrije je enak
γ
1
=
2
π
(
π
−
3
)
(
4
−
π
)
3
/
2
≈
0
,
631.
{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0,631.}
Entropija je enaka
1
+
ln
(
σ
2
)
+
γ
2
{\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}
Funkcija generiranja momentov je
1
+
σ
t
e
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erf
(
σ
t
2
)
+
1
)
{\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}
kjer je
erf
{\displaystyle {\textrm {erf}}\!}
funkcija napake (Gaussova funkcija napake).Karakteristična funkcija je enaka:
1
−
σ
t
e
−
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erfi
(
σ
t
2
)
−
i
)
{\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}
kjer je
erfi
{\displaystyle {\textrm {erfi}}\!}
Če sta
X
∼
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})\!}
Y
∼
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})\!}
slučajni spremenljivki , ki sta neodvisni, in se podrejata normalni porazdelitvi , potem ima
R
=
X
2
+
Y
2
{\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}
porazdelitev hi je posplošitev Rayleighjeve porazdelitve.Riceova porazdelitev je posplošitev Rayleighjeve porazdelitve.Weibullova porazdelitev je posplošitev Rayleighjeve porazdelitve.Če ima slučajna spremenljivka
R
{\displaystyle R\!}
R
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
1
)
{\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\!}
R
2
{\displaystyle R^{2}\!}
porazdelitev hi-kvadrat z dvema prostostnima stopnjama
R
2
∼
χ
2
2
{\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}
Če ima
X
{\displaystyle X}
eksponentno porazdelitev
X
∼
E
x
p
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )\!}
Y
{\displaystyle Y\!}
Y
=
2
X
σ
2
λ
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
σ
)
{\displaystyle Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\!}
Če velja
R
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
σ
)
{\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\!}
∑
i
=
1
N
R
i
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}
porazdelitev gama s parametri
N
{\displaystyle N\!}
2
σ
2
{\displaystyle 2\sigma ^{2}\!}
[
Y
=
∑
i
=
1
N
R
i
2
]
∼
Γ
(
N
,
2
σ
2
)
{\displaystyle [Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})\!}
![{\displaystyle [Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf13e380b523de0dcd8a8f4844df8a7b87c4784)