ki ni konvergentna, vendar nekaj prvih členov da dober približek za . Njena Taylorjeva vrsta okrog točke0, ki konvergira za , je:
kjer označuje funkcijo poligama reda . Riemann-Sieglova funkcija θ je pomembna pri raziskovanju Riemannove funkcije ζ, ker lahko vrti Riemannovo funkcijo ζ na tak način, da postane popolnoma realna funkcija Z na kritični premici .
Če se zamenja za in se členoma vzame imaginarni del, izhaja vrsta za :
Za vrednosti z imaginarnim delom med -1 in 1 je funkcija arkus tangensholomorfna. Lahko se vidi tudi, da vrsta konvergira enakomerno na kompaktnih množicah v območju z imaginarnim delom med -1/2 in 1/2, kar vodi do holomorfne funkcije na tem definicijskem območju. Izhaja tudi, da je tudi funkcija Z holomorfna na tem območju, ki je kritični trak.
Lahko se uporabita enakosti:
za izraz v sklenjeni obliki:
ki razširja izvirno definicijo na holomorfno funkcijo od . Ker ima glavna vejitev eno vejitev vzdolž negativne realne osi, ima v tej definiciji preseke vejišča vzdolž imaginane osi nad in pod .
Riemannova funkcija ζ se lahko na kritični premice napiše kot:
Če je realno število, potem funkcija vrača realne vrednosti.
Zato bo Riemannova funkcija ζ na kritični premici realna pri . Pozitivne realne vrednosti , kjer se to pojavlja, se imenujejo Gramove točke po danskem matematiku in aktuarju Jørgenu Pedersenu Gramu, in se lahko seveda opišejo tudi kot točke, kjer je celo število.
Gramova točka je rešitev za:
Prve najmanjše nenegativne Gramove točke podaja naslednja razpredelnica:
-3
0
0
-2
3,4362182261...
-1
9,6669080561...
0
17,8455995405...
0
1
23,1702827012...
2
27,6701822178...
3
31,7179799547...
4
35,4671842971...
5
38,9992099640...
6
42,3635503920...
7
45,5930289815...
8
48,7107766217...
9
51,7338428133...
10
54,6752374468...
11
57,5451651795...
12
60,3518119691...
13
63,1018679824...
14
65,8008876380...
15
68,4535449175...
Izbira indeksa je malo surova. Izbrana je zgodovinsko na takšen način, da je indeks enak 0 pri prvi vrednosti, ki je večja od najmanjše pozitivne ničle (pri imaginarnem delu 14,13472515 ...) Riemannove funkcije ζ na kritični premici. Ta funkcija za absolutno majhne realne argumente niha in tako ni enoznačno obrnjljiva na intervalu [-24,24]! Tako ima liha funkcija svojo simetrično Gramovo točko z vrednostjo 0 pri indeksu -3. Gramove točke so uporabne pri računanju ničel funkcije . V Gramovi točki velja:
Če je ta izraz pozitiven v dveh zaporednih Gramovih točkah, mora funkcija na tem intervalu imeti ničlo.
Po Gramovem zakonu je realni del po navadi pozitiven, predznak imaginarnega dela pa se izmenično spreminja z Gramovimi točkami med pozitivnimi in negativnimi vrednostmi v dokaj pravilnih intervalih.
Število korenov na traku od 0 do se lahko najde z:
kjer je člen napake, ki narašča asimptotično kot .
Le, če za velja Gramov zakon, potem je iskanje števila korenov na traku dano preprosto z:
Sedaj se ve, da na dolgi rok Gramov zakon ne velja za približno 1/4 vseh Gramovih intervalov, ki vsebujejo točno eno ničlo Riemannove funkcije ζ. Gram se je bal, da ne bo veljal za velike indekse. Prvo neskladje je pri indeksu 126 pred 127. ničlo, tako, da je trdil to le za neprevelike indekse. Kasneje je Hutchinson skoval izraz »Gramov zakon« za (nepravilno) trditev, da bodo vse ničle na kritični premici ločene z Gramovimi točkami.