Trikotno tlakovanje

Trikotno tlakovanje

Vrsta	pravilno tlakovanje
Konfiguracija oglišča	3.3.3.3.3.3 (ali 3⁶)
Schläflijevi simboli	{3,6} 3^[3]
Wythoffovi simboli	6\|3 2 3 3\|3 3 \|3 3 3
Coxeter-Dinkinovi diagrami
Simetrija	p6m, [6,3], ^632 p3m1, [3^[3]], ^333 p3, [3^[3]]⁺, 333
Vrtilna simetrija	p6m, [6,3]⁺, 632, p3, 3^[3]⁺, 333
Dual	šestkotno tlakovanje
Lastnosti	ogliščna tranzitivnost, robovna tranzitivnost, tranzitivne stranske ploskve
3.3.3.3.3.3 (ali 3⁶)

Trikotno tlakovanje je eno izmed treh pravilnih tlakovanj na evklidski ravnini.

Uniformno barvanje

Znanih je devet različnih uniformnih barvanj. Če imenujemo barve s števili na šestih trikotnikih okoli oglišča, dobimo 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314. Štiri barvanja lahko generiramo s pomočjo Wythoffove konstrukcije. Sedem od devetih različnih barvanj lahko dobimo kot zmanjšanje barvanja s štirimi barvami: 121314. Ostali dve 111222 in 112122 pa nimata Wythoffove konstrukcije.

Indeks barvanja	111111	121212	121314	121213
Barvanje
Simetrija	*632 (p6m) [6,3]	*333 (p3m1) [3^[3]] = [1⁺,6,3]	333 (p3) [3^[3]]⁺	3*3 (p31m) [6,3⁺]
Wythoffov simbol	6 \| 3 2	3 \| 3 3	\| 3 3 3
Coxeter-Dinkin		=

Indeks barvanja	111222	112122	111112	111212	111213
Barvanje
Simetrija	2*22 (cmm) [∞,2⁺,∞]	2222 (p2) [∞,2,∞]⁺	*333 (p3m1) [3^[3]]	*333 (p3m1) [3^[3]]	333 (p3) [3^[3]]⁺

Mreža A2 in pakiranje krogov

Razvrstitev oglišč trikotnega tlakovanja se imenuje mreža A2 ^[1]. Je dvorazsežni primer simplektičnega satovja. Mrežo A₂^* trikotnega tlakovanja, ki jo včasih imenujemo tudi A₂ mreža.

Mrežo A₂^* (včasih jo imenujemo tudi A₂³) lahko konstruiramo iz unije treh mrež A₂ in ekvivalenta mreži A₂.

Oglišča trikotnega tlakovanja so središča najgostejše oblike pakiranja krožnic. Vsaka krožnica se dotika šestih drugih krožnic v pakiranju (glej dotikalno število. Gostota pakiranja je ${\frac {\pi }{\sqrt {12}}}$ ali 90,69%. Ker pa je unija treh A2 mrež tudi mreža A2, je možno podati pakiranje krožnic s tremi barvami.

Voronojeva celica trikotnega tlakovanja je šestkotnik. Prav tako pa tudi Voronojeva teselacija. Šestkotno tlakovanje ima neposredno zvezo s pakiranjem krožnic.

A₂ mreža pakiranja krožnic	A₂^* mreža pakiranja krožnic
	]
šestkotna tlakovanja

Sorodni poliedri in tlakovanja

Ravninska tlakovanja so povezana s poliedri. Kadar postavimo manj trikotnikov na oglišča dobimo praznimo in to nam omogoča, da jih lahko zvijemo v piramide. Ta telesa lahko razširimo na platonska telesa: pet, štirje in trije trikotniki na oglišču definirajo po vrsti ikozaeder, oktaeder in tetraeder.

Tlakovanje je topološko podobno zaporedju pravilnih poliedrov s Schläflijevim simbolom {3,n}. To se nadaljuje še v hiperbolični prostor

{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}

Je pa tudi topološko povezan kot zaporedje Catalanovimi telesi z konfiguracijo stranskih ploskev Vn.6.6, ki se prav tako nadaljuje v hiperbolično ravnino.

V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6

Wythoffova konstrukcija iz šestkotnih in trikotnih tlakovanj

Podobno kot obstoja osem uniformnih poliedrov obstoja tudi osem uniformnih tlakovanj, ki imajo osnovo v pravilnem šestkotnem tlakovanju ali dualnem trikotnem tlakovanju.

Kadar narišemo ploščice tlakovanja obarvane rdeče na prvotnih stranskih ploskvah in rumeno na prvotnih ogliščih ter modro na prvotnih robovih, dobimo osem oblik. Samo sedem od njih pa je topološko različnih. Tako je prisekano trikotno tlakovanje topološko enakovredno šestkotnemu tlakovanju.

Wythoff	3 \| 6 2	2 3 \| 6	2 \| 6 3	2 6 \| 3	6 \| 3 2	6 3 \| 2	6 3 2 \|	\| 6 3 2
Schläfli	{6,3}	t_0,1{6,3}	t₁{6,3}	t_1,2{6,3}	t₂{6,3}	t_0,2{6,3}	t_0,1,2{6,3}	s{6,3}	h₀{6,3}	h_1,2{6,3}
Coxeter-Dinkin
Slika Slika oglišč	6.6.6	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3⁶}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	(3.3)³	3.3.3.3.3.3