Fréchetova porazdelitev

Fréchetova porazdelitev
parametri	$\alpha \in (0,\infty ]$ parameter oblike
interval	$x>0\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\alpha \;x^{-1-\alpha }\;e^{-x^{-\alpha }}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$e^{-x^{-\alpha }}$
pričakovana vrednost	$\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right){\text{ kadar je }}\alpha >1$
mediana	$\left({\frac {1}{\log _{e}(2)}}\right)^{1/\alpha }$
modus	$\left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }$
varianca	$\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}{\text{ kadar je }}\alpha >2$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Fréchetova porazdelitev (tudi Porazdelitev ekstremnih vrednosti II) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena enim parametrom.

Imenuje se po francoskem matematiku Mauricu Renéju Fréchetu (1878 – 1973), ki jo je prvi opisal v letu 1927. Nadaljnje raziskave porazdelitve so opravili Ronald Aylmer Fisher (1890 – 1962), Leonard Henry Caleb Tippett (1902 – 1985) in Emil Julius Gumbel (1891 – 1966).

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

$\alpha \;x^{-1-\alpha }\;e^{-x^{-\alpha }}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$e^{-x^{-\alpha }}$

Verjetnost, da slučajna spremenljivka $X\!$ zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka $x\!$ je enaka

$P(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ kadar je }}x>0\!$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right){\text{ kadar je }}\alpha >1$

kjer je

• $\Gamma (x)\!$ funkcija gama

Varianca

Varianca je enaka

$\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}{\text{ kadar je }}\alpha >2$

Splošna oblika Fréchetove porazdelitve

Fréchetovo porazdelitev lahko posplošimo tako, da uvedemo še dva parametra parameter lokacije $m\!$ in parameter merila $s>0\!$. V tem primeru dobimo za verjetnost, da slučajna spremenljivka $X\!$ zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka $x\!$

$P(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ kadar je }}x>m.$.

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev