Ortogonálni polinómi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke
. Pri tem ima vsak
stopnjo
. Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji različici L2 notranjega produkta.
Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali, so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821–1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov starejši (1856–1922), ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856–1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908–1977), madžarski matematik Gábor Szegő (1895–1985), ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).
Najugodneje je, da se za definicijo ortogonalnih polinomov uporabi oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič:
![{\displaystyle \langle p,q\rangle =0\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2adbbb5f01cb7021aa5e49c79187d1d54692886)
kjer sta:
ortogonalna polinoma.
Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje:
![{\displaystyle p_{0},\ p_{1},\ p_{2},\ \ldots \!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8421a6211af1976f04a4075a3486f8249ceb934)
Pri tem imajo
stopnjo
in vsi različni členi zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Značilnosti polinomov so odvisne od značilnosti operatorja
.
Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]
Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko:
![{\displaystyle Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5309e7154904341b8944687c60e7b413a9f7fa15)
kjer je:
največ kvadratni polinom
linearni polinom
funkcija, ki jo je potrebno najti
konstanta, ki jo je potrebno najti.
Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za
, nimajo jih pa za določene vrednosti konstante
. Obstaja vrsta števil
, ki vodijo do vrste rešitev s polinomi
, če velja ena izmed naslednjih trditev:
je resnični kvadratni polinom,
pa linearni, potem ima
dva različna realna korena
ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma
leži točno med korenoma polinoma
in vodeči člen polinomov
in
ima isti predznak.
je neničelna konstanta,
je linearni polinom in vodeči člen polinoma
ima nasprotni predznak kot polinom
.
Naj bo
interval na realni premici, tako da velja
in
, kar se imenuje interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala:
![{\displaystyle w:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} \!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32f10e816cb26c89ae0f77f455da6d42e5dbac8)
mora zadoščati zahtevi, da mora biti za polinom
integral:
![{\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)w(x)\,\mathrm {d} x\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9f8f9ffd9a921dfb25d71058a1e674d534757e)
končen. Funkcija
se imenuje utežna funkcija.
Za dani vrednosti
in
se lahko za dana polinoma
in
definira:
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8370e3edb8e8671743fa6276045aaea5795184d)
Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.
Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način:
![{\displaystyle \|f\|=\langle f,f\rangle ^{1/2}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28b4da8bbce7208ffa726689f661bac843d3e93)
Ko se pripravlja ortogonalno bazo, se poskuša pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega se polinome skalira tako, da so koeficienti enostavnejši. To se imenuje standardizacija. Klasične polinome se pogosto standardizira s tem, da se postavi vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa se postavi določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.
Kvadrat norme polinoma
se označi s
:
![{\displaystyle h_{n}=\langle p_{n},p_{n}\rangle \!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68291c6f30731e04ceff9c554aba2593bd37df7)
Vrednosti za
so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To se lahko zapiše tudi kot:
![{\displaystyle \langle p_{m},p_{n}\rangle =\delta _{mn}{\sqrt {h_{m}h_{n}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c434956a559f6a251f8059c00d0f1a2d985a47c3)
kjer je:
Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:
![{\displaystyle p_{n+1}=(a_{n}x+b_{n})p_{n}-c_{n}p_{n-1}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797974e63c067a6c314bfe93954dcf9e378afdf4)
Koeficienti
,
in
so odvisni od
.
Vrednosti
,
in
se lahko neposredno določi. Naj bodo
in
prvi in drugi koeficient polinoma
:
![{\displaystyle p_{j}(x)=k_{j}x^{j}+k_{j}'x^{j-1}+\cdots \!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1e02cd3385560324a378c61a6b6f7296615e7e)
in naj bo
notranji produkt polinoma
samega s seboj:
![{\displaystyle h_{j}\ =\ \langle p_{j},\ p_{j}\rangle \!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9f9f645c46cf3d5af2159e28cf99f1d1495d94)
Iz tega se dobi:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad b_{n}=a_{n}\left({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}\right),\qquad c_{n}=a_{n}\left({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}\right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983df7707966d5ea59addf16701ba549b24d2bae)
Posamezni členi
so sorazmerni z
. Ta obrazec se imenuje Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in družbenem prenovitelju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).
Pogosto se ga piše v obliki:
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{{e_{n}}W(x)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df47c93f9acf77a044bb202f20eb9acc673843f7)
kjer je:
odvisen od standardizacije.
Iz vsega sledi, da je:
![{\displaystyle \lambda _{n}=-n\left({\frac {n-1}{2}}Q''+L'\right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00122322a97a1f2886bbdf5b821e2a0e6c893e21)
Ker pa sta
kvadratni in
linearna polinoma sta,
in
konstanti (glej preglednico spodaj).
Klasični ortogonalni polinomi[uredi | uredi kodo]
Med klasične ortogonalne polinome spadajo:
Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko:
![{\displaystyle Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127217fac144ea15e1983050ba100553d8c5a869)
Jacobijevi polinomi so rešitve Jacobijeve enačbe:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]\,x)\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n(n+1+\alpha +\beta ))\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa12ef7da67560d1aed5df8bfbc9ddacf61897f9)
Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega
in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).
Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2x\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n(n+1))\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1ff28fa1c47bd62107b657ba5c362ce0ab5ed2)
Enačba se imenuje Legendrova enačba.
Druga oblika diferencialne enačbe je:
![{\displaystyle ([1-x^{2}]\,y')'+\lambda \,y=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8454e117c3b4766e8155d52111512fffe00929)
Rekurzivni obrazec za Legendrove polinome je:
![{\displaystyle (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f9904c14713279c93bc1abfd8b4f0ee8fd4130)
Najenostavnejši ortogonalni polinomi so Legendrovi polinomi. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1.
Nekaj prvih Legendrovih polinomov je:
![{\displaystyle P_{0}(x)=1\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3785b20c75eee8949789f91d68d5fdb42612450)
![{\displaystyle P_{1}(x)=x\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a4041c15e8cf822ee337959fb32e8712f2ed93)
![{\displaystyle P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\!\,,/math>:<math>P_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88f21e2d588ebe28108ae9dce5c2779c2810f85)
![{\displaystyle P_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9afcb6fdf38dcc98fda81170fb3ef8722db56c)
.
Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le
, saj velja:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd3a28d9d9b9f6d702e82565717989994a75267)
Legendrovi polinomi so standardizirani tako, da je
za vse
.
Posplošeni Legendrovi polinomi[uredi | uredi kodo]
Posplošene Legendrove polinome se označi z:
![{\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ebeab73dcf02152311fe8bb010b9f936c65da8)
kjer je:
celo število
celo število tako, da je
.
Polinomi so definirani kot:
![{\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\,(1-x^{2})^{m/2}\ P_{\ell }^{[m]}(x)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b1d43e08912875f03963e37a5cfc46703e4af1)
Opomba: parameter
je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca.
Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je:
![{\displaystyle (\ell +1-m)\,P_{\ell +1}^{(m)}(x)=(2\ell +1)x\,P_{\ell }^{(m)}(x)-(\ell +m)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223036634f6a137aaa8ef76a01bdb96231a579fe)
Za stalni
je zaporedje
ortogonalno v intervalu
z utežno funkcijo enako 1.
Za dani
so polinomi rešitev diferencialne enačbe:
.
Kadar je ena skupina parametrov
in
med seboj enaka, se dobi Gegenbauerjeve polinome. Zapiše se jih kot
. Definirani pa so kot:
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (2\alpha \!+\!n)\,\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}{\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (\alpha \!+\!n\!+\!1/2)}}\!\ P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdeada616ac1549f30a1163d16f43dfcf02c7c83)
Pri tem je
in
. Mora pa biti
večji od -1/2.
Diferencialna enačba, katere rešitve so polinomi Čebišova, je:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n^{2})\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394e1efed2344d33cd48f22f17d1ffab48003049)
Imenuje se enačba Čebišova.
Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je:
![{\displaystyle T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6a3c4b1f22ef87a67bc2598e54d66c3414f820)
Rodriquesov obrazec je:
![{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {\Gamma (1/2){\sqrt {1-x^{2}}}}{(-2)^{n}\,\Gamma (n+1/2)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left([1-x^{2}]^{n-1/2}\right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f9c57b12138644d6683429b78e9dfecdfa5a2d)
Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki se jih označuje z
.
Najsplošnejši Laquerrovi polinomi se imenujejo posplošeni Laquerrovi polinomi in se jih označuje z
. Parameter
mora biti večji od -1.
Diferencialna enačba, s katero so določeni Laquerrovi polinomi, je:
![{\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888cb817748368373fa46b90f57a001e7eb39c10)
Druga oblika diferencialne enačbe pa je:
![{\displaystyle (x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a094390ce97a9c8140955d4aa813a0bc2a9c8d3)
Rekurzivni obrazec je:
![{\displaystyle (n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa88d1cc59fa9b96a9ae92e2425593b237f82b7a)
Rodriquesov obrazec je:
![{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{n+\alpha }\,e^{-x}\right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9449e19d3dd0b687b7a5361f70444c30894da83a)
Diferencialna enačba, ki določa Hermitove polinome, je:
![{\displaystyle y''-2xy'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =2n)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe7d20626c0ddde0de73bf4f4b155f9c659030b)
Imenuje se Hermitova enačba.
Druga oblika diferencialne enačbe je:
![{\displaystyle (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e97e579426466d90f41134205b5cd65b816c09e)
Znana je še tretja oblika:
![{\displaystyle (e^{-x^{2}/2}\,y)''+({\lambda }+1-x^{2})(e^{-x^{2}/2}\,y)=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f514ed05e6c707f64db7aaf65ec8991435d84b6b)
Rekurzivni obrazec je:
![{\displaystyle H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9958494d44041752bfc96cf71cac4207ca3ea9)
Rodriquesov obrazec je:
![{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\,e^{x^{2}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b35ffe2f76cf2482e0b59f0399c7d76c26c4200)
Nekaj prvih Hermitovih polinomov je:
![{\displaystyle H_{0}(x)=1\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5426308b9200d5f63f20108407bfd17e58fde22d)
![{\displaystyle H_{1}(x)=2x\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b18334cebc929ecc4ffc29f91b99150657fbf4e)
![{\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9421cc4aa875a6b3de3aab6611fa7aa46f3835db)
![{\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a3d1e5b0494c115d77c0ebf6c7cc17c6d04019)
![{\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96edc22edee5c83739309af487fd93f7087794c0)
Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]
ime in oznaka
|
polinomi Čebišova,
|
polinomi Čebišova (druge vrste),
|
Legendrovi polinomi,
|
Hermitovi polinomi,
|
meje ortogonalnosti
|
|
|
|
|
utežna funkcija
|
|
|
|
|
standardizacija
|
|
|
|
Vodeči člen =
|
kvadrat norme
|
|
|
|
|
vodeči člen
|
|
|
|
|
drugi člen
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
konstanta v diferencialni enačbi
|
|
|
|
|
konstanta v Rodriguesovem obrazcu
|
|
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
|
|
ime in oznaka
|
posplošeni Laquerrovi polinomi,
|
Laguerrovi polinomi,
|
meje ortogonalnosti
|
|
|
utežna funkcija
|
|
|
standardizacija
|
vodeči člen =
|
vodeči člen =
|
kvadrat norme
|
|
|
vodeči člen
|
|
|
drugi člen
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
konstanta v diferencialni enačbi
|
|
|
konstanta v Rodriguesovemu obrazcu
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
ime in oznaka
|
Gegenbauerjevi polinomi,
|
Jacobijevi polinomi,
|
meje ortogonalnosti
|
|
|
utežna funkcija
|
|
|
standardizacija
|
if
|
|
kvadrat norme
|
|
|
vodeči člen
|
|
|
drugi člen
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
konstanta v diferencialni enačbi
|
|
|
konstanta v Rodriguesovem obrazcu
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|
rekurzivni odnos
|
|
|