Prirezana kocka

Prirezana kocka
(animacija)
vrsta	arhimedsko telo uniformni polieder
elementi	F = 38, E = 60, V = 24 (χ = 2)
stranske ploskve na stran	(8 + 24){3} + 6{4}
Conwayjev zapis	sC
Schläflijevi simboli	sr{4,3} ali $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$
	ht0,1,2{4,3}
Wythoffov simbol	| 2 3 4
Coxeter-Dinkinov diagram
simetrija	O, 1/2B3, [4,3]+, (432), red 24
vrtilna grupa	O, [4,3]+, (432), red 24
diedrski kot	3-3: 153° 14′ 04″ (153,23°) 3-4: 142° 59′ 00″ (142,98°)
sklici	U12, C24, W17
značilnosti	konveksna polpravilna kiralna
obarvane stranske ploskve	3.3.3.3.4 (slika oglišč)
petstrani ikozitetraeder (dualni polieder)	mreža telesa

Prirézana kócka (tudi prirézani heksaéder ali prirézani kúboktaéder) je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Ima osemintrideset pravilnih stranskih ploskev, od tega dvaintrideset enakostraničnotrikotniških in šest kvadratnih, ter 60 robov in 24 oglišč.

Spada med kiralne poliedre z dvema različnima oblikama, ki sta zrcalni sliki (ali enanciomorfni druga drugi). Edini kiralni arhimedski telesi sta prirezana kocka in prirezani dodekaeder.

• 
  Prva zrcalna oblika
• 
  Druga zrcalna oblika

Razsežnosti

Prirezana kocka z dolžino roba 1 ima površino $\scriptstyle {6+8{\sqrt {3}}}$. Njena prostornina je enaka ${\sqrt {\tfrac {613t+203}{9(35t-62)}}}$, kjer je t tribonacijeva konstanta:

${\tfrac {1}{3}}\scriptstyle {(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}})\approx 1,83929}\!\,.$

Če ima prvotna prirezana kocka rob z dolžino 1, ima njen dual petstrani ikozitetraeder dolžine roba${\tfrac {1}{\sqrt {t+1}}}\scriptstyle {\approx 0,593465}$ in ${\tfrac {1}{2}}\scriptstyle {{\sqrt {t+1}}\approx 0,842509}$.

Kartezične koordinate

Kartezične koordinate oglišč so sode permutacije od

(±1, ±ξ, ±1/ξ)

s sodim številom pozitivnih predznakov, skupaj z lihimi permutacijami z lihim številom pozitivnih predznakov, kjer je ξ realna rešitev enačbe:

$\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1\!\,,$

ki se jo lahko piše kot:

$\xi ={\frac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1\right)$ kar je približno 0,43689. ξ je obratna vrednost tribonacijeve konstante. Če se vzame sode permutacije s pozitivnim predznakom in lihe permutacije z negativnim predznakom, se dobi drugačno prirezano kocko, ki je zrcalna slika. Ta prirezana kocka ima robove z dolžino α, ki zadoščajo enačbi:

$\alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0\!\,,$

in se jih lahko zapiše kot:

$\alpha ={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {32}{6{\sqrt[{3}]{2}}\beta }}+{\frac {6{\sqrt[{3}]{2}}\beta }{9}}}}\approx 1,60972\!\,,$

$\beta ={\sqrt[{3}]{13+3{\sqrt {33}}}}\!\,.$

Za prirezano kocko z enotsko dolžino roba, se uporabljajo naslednje koordinate:

$(\pm C_{1},\pm C_{2},\pm C_{3})\!\,,$

$C_{1}={\sqrt {\frac {4-c_{1}+c_{2}}{12}}}\approx 0,337754\!\,,$

$C_{2}={\sqrt {\frac {2+c_{1}-c_{2}}{12}}}\approx 0,621226\!\,,$

$C_{3}={\sqrt {\frac {4+c_{3}+c_{4}}{12}}}\approx 1,14261\!\,,$

$c_{1}={\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}\!\,,$

$c_{2}={\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}\!\,,$

$c_{3}={\sqrt[{3}]{199+3{\sqrt {33}}}}\!\,,$

$c_{4}={\sqrt[{3}]{199-3{\sqrt {33}}}}\!\,.$

Pravokotne projekcije

Prirezana kocka ima dve posebni pravokotni projekciji usrediščeni na dve vrsti stranskih ploskev (enakostranični trikotniki in kvadrati). Odgovarjata Coxeterjevima ravninama A₂ in B₂.

Pravokotne projekcije

usrediščeno na	rob	stransko ploskev – enakostranični trikotnik	stransko ploskev – kvadrat
slika
projektivna simetrija	[2]	[3]	[4]+
petstrani ikozitetraeder

Geometrijski odnosi

Prirezano kocko se lahko dobi tako, da se vzame šest stranskih ploskev kocke. Teh šest stranskih ploskev se potegne navzven toliko, da se se več ne dotikajo. Nato se jih malo zavrti okrog njihovih središč (v smeri gibanja urinih kazalcev ali v obratni smeri). To se počneo tako dolgo, da se vmesni prostor napolni z enakostraničnimi trikotniki.

Lahko se jih konstruira tudi s pomočjo alternacije neuniformne kocke. Zbriše se vsa oglišča in se kreira nove trikotnike na mestu zbrisanih oglišč.

kocka

rombikubooktaeder (razširjena kocka)

prirezana kocka

Sorodni poliedri in tlakovanja

Prirezana kocka spada v družino uniformnih poliedrov, ki so povezani s kocko in pravilnim oktaedrom.

Družina uniformnih oktaedrskih poliedrov
Simetrija: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= or	= or	=
Duali uniformnih poliedrov
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Ta polpravilni polieder je član zaporedja prirezanega poliedra in tlakovanja s sliko oglišča (3.3.3.3.n) in Coxeter-Dinkinovim diagramom . Te oblike in njihovi duali imajo (n32) vrtilno simetrijo.

Simetrija	232 [2,3]+ D3	332 [3,3]+ T	432 [4,3]+ O	532 [5,3]+ I	632 [6,3]+ P6	732 [7,3]+	832 [8,3]+
red simetrije	6	12	24	60	∞
Coxeter Schläfli	s{2,3}	s{3,3}	s{4,3}	s{5,3}	s{6,3}	s{7,3}	s{8,3}
prirezana oblika	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8
prirezana dualna oblika	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7

Glej tudi

• graf prirezane kocke
• prisekana kocka
• kvadratno prirezano tlakovanje

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Snub Cube«. MathWorld.
• Konveksni uniformni poliedri (angleško)
• Uniformni poliedri (angleško)
• Virtualni poliedri v The Encyclopedia of Polihedra (angleško)